Bài 3.12 trang 118 SBT đại số và giải tích 11

Viết công  thức truy hồi của dãy số

Phương pháp giải:

Xét hiệu \({u_{n + 1}} - {u_n}\) và suy ra công thức truy hồi.

Lời giải chi tiết:

Ta có \({u_1} = 0.\)

Xét hiệu \({u_{n + 1}} - {u_n}\) \( = {\left( {n + 1} \right)^2} - 4\left( {n + 1} \right) + 3 - {n^2} + 4n - 3\) \( = 2n - 3.\)

Vậy công thức truy hồi là \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 0.\\{u_{n + 1}} = {u_n} + 2n - 3{\rm{ voi }}n \ge 1.\end{array} \right.\)

Chứng minh dãy số bị chặn dưới

Phương pháp giải:

Đánh giá \({u_n} \ge m,\forall n\) suy ra dãy số bị chặn dưới

Lời giải chi tiết:

\({u_n} = {n^2} - 4n + 3 = {\left( {n - 2} \right)^2} - 1 \ge  - 1.\)

Vậy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn dưới.

Tính tổng n số hạng đầu của dãy đã cho.

Phương pháp giải:

Nhóm các tổng thích hợp và sử dụng các tổng quen thuộc thu gọn tổng \({S_n}\).

Lời giải chi tiết:

\({S_n} = 1 + {2^2} + {3^2} + ... + {n^2} - 4\left( {1 + 2 + ... + n} \right) + 3n\)

\({\rm{ = }}\dfrac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{6} - 4.\dfrac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2} + 3n\)

\({\rm{ = }}\dfrac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right) - 12n\left( {n + 1} \right) + 18n}}{6}\)

\({\rm{ = }}\dfrac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n - 11} \right) + 18n}}{6}.\)