Bài III.2* phần bài tập bổ sung trang 18 SBT toán 8 tập 2

Cho ba số \(a, \;b\) và \(c\) đôi một phân biệt. Giải phương trình

\(\displaystyle{x \over {\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)}} + {x \over {\left( {b - a} \right)\left( {b - c} \right)}} \)\(\displaystyle+ {x \over {\left( {c - a} \right)\left( {c - b} \right)}} = 2\)

Phương pháp giải:

Để giải các phương trình đưa được về \(ax + b = 0\) ta thường biến đổi phương trình như sau :

+ Quy đồng mẫu hai vế phương trình và khử mẫu.

+ Thực hiện phép tính để bỏ dấu ngoặc và chuyển vế các hạng tử để đưa phương trình về dạng \(ax + b=0\) hoặc \(ax=-b\).

+ Tìm nghiệm của phương trình dạng \(ax+b=0\).

Lời giải chi tiết:

Do \(a,\, b,\, c\) đôi một khác nhau nên \(\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)\ne 0 \)

Ta có:

\(\displaystyle{x \over {\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)}} + {x \over {\left( {b - a} \right)\left( {b - c} \right)}} \)\(\displaystyle + {x \over {\left( {c - a} \right)\left( {c - b} \right)}} = 2\)

\(\displaystyle   \Leftrightarrow {{x\left( {c - b} \right) + x\left( {a - c} \right) + x\left( {b - a} \right)} \over {\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}} \) \(= 2  \)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \dfrac{{x\left( {c - b + a - c + b - a} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}} = 2\\
\Leftrightarrow \dfrac{{x.0}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}} = 2\\
\Leftrightarrow 0 = 2\,(vô\,lý)
\end{array}\)

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Cho số \(a\) và ba số \(b,\; c,\; d\) khác \(a\) và thỏa mãn điều kiện \(c + d = 2b\). Giải phương trình 

\(\displaystyle{x \over {\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)}} - {{2x} \over {\left( {a - b} \right)\left( {a - d} \right)}} \)\(\displaystyle + {{3x} \over {\left( {a - c} \right)\left( {a - d} \right)}} \)\(\displaystyle = {{4a} \over {\left( {a - c} \right)\left( {a - d} \right)}}\)

Phương pháp giải:

Để giải các phương trình đưa được về \(ax + b = 0\) ta thường biến đổi phương trình như sau :

+ Quy đồng mẫu hai vế phương trình và khử mẫu.

+ Thực hiện phép tính để bỏ dấu ngoặc và chuyển vế các hạng tử để đưa phương trình về dạng \(ax + b=0\) hoặc \(ax=-b\).

+ Tìm nghiệm của phương trình dạng \(ax+b=0\).

Lời giải chi tiết:

\(\displaystyle{x \over {\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)}} - {{2x} \over {\left( {a - b} \right)\left( {a - d} \right)}} \)\(\displaystyle + {{3x} \over {\left( {a - c} \right)\left( {a - d} \right)}} \)\(\displaystyle = {{4a} \over {\left( {a - c} \right)\left( {a - d} \right)}}\)

\(\displaystyle  \Leftrightarrow {{x\left( {a - d} \right) - 2x\left( {a - c} \right) + 3x\left( {a - b} \right)} \over {\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)\left( {a - d} \right)}} \)\(\displaystyle = {{4a\left( {a - b} \right)} \over {\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)\left( {a - d} \right)}}  \)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{x\left( {a - d - 2a + 2c + 3a - 3b} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)\left( {a - d} \right)}} \)\(= \dfrac{{4a\left( {a - b} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)\left( {a - d} \right)}}\)

\(\displaystyle  \Rightarrow x\left( {a - d - 2a + 2c + 3a - 3b} \right) \)\(\displaystyle = 4a\left( {a - b} \right)  \)

\(\displaystyle  \Leftrightarrow x\left( {2a - 3b + 2c - d} \right) = 4a\left( {a - b} \right)  \,(*)\)

Theo giả thiết, \(b + d = 2c\) nên \(b=2c-d\)

Do đó \(2a – 3b + 2c – d = 2a-3b+b\)\(= 2a-2b= 2 (a – b )\).

Từ đó phương trình (*) trở thành: 

\(\displaystyle 2\left( {a - b} \right)x = 4a\left( {a - b} \right)\)

\(\displaystyle \Leftrightarrow x = \dfrac {4a\left( {a - b} \right)}{2\left( {a - b} \right)}\) (vì \(a – b ≠ 0)\)

\(\Leftrightarrow x = 2a\).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất \(x =2a.\)