Bài 40 trang 115 Vở bài tập toán 9 tập 2

Đề bài

Trên đường tròn bán kính \(R\) lần lượt đặt theo cùng một chiều, kể từ điểm \(A\), ba cung \(AB, BC, CD\) sao cho sđ\(\overparen{AB}= {60^o}\), sđ\(\overparen{BC}= {90^o}\), sđ\(\overparen{CD}= {120^o}\).

a) Tứ giác \(ABCD\) là hình gì ?

d) Chứng minh rằng hai đường chéo của tứ giác \(ABCD\) vuông góc với nhau.

c) Tính độ dài các cạnh của tứ giác \(ABCD\) theo \(R\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Sử dụng số đo cả đường tròn bằng \(360^\circ \) để tính số đo cung \(AD\).

Sử dụng dấu hiệu nhận biết tứ giác có hai cạnh đáy song song và hai cạnh bên (hoặc hai góc ở đáy) bằng nhau.

b) Sử dụng: Số đo góc có đỉnh bên trong đường tròn bẳng nửa tổng số đo hai cung bị chắn

c) Sử dụng định lý Pytago và tính chất tam giác đều.

Lời giải chi tiết

a) Xét cung \(DA\) , ta có : 

sđ\(\overparen{DA}=\) \(360^\circ  - \) (sđ \(\overparen{AB}+\) sđ\(\overparen{BC}+\) sđ\(\overparen{CD}\)) \( = 360^\circ  - 270^\circ  = 90^\circ .\)

Vậy sđ\(\overparen{DA}= 90^\circ \) ta có : sđ\(\overparen{BC}\) = sđ\(\overparen{DA}\)

 \( \Rightarrow \widehat {ACD} = \widehat {BAC} = \dfrac{1}{2}\) sđ\(\overparen{AD}\). Do đó, ta có \(AB//DC\) và \(\overparen{BC}= \overparen{AD}\) \( \Rightarrow BC = DA.\)

Vậy tứ giác\(ABCD\) là hình thang cân.

b) Gọi \(E\) là giao điểm của hai đường chéo \(AC\) và \(BD\). Góc  \(AEB\) có đỉnh  nằm bên trong đường tròn nên ta có:

\(\widehat {AEB} = \dfrac{1}{2}\) (sđ \(\overparen{AB}\) + sđ \(\overparen{CD}\)). Từ giả thiết ta có sđ\(\overparen{CD}\)\( = 120^\circ ;\) sđ\(\overparen{AB}\) \( = 60^\circ \)

Vậy  \(\widehat {AEB} = 90^\circ  \Rightarrow AC \bot BD.\)

c) Ta có \(\widehat {AOB} = \) sđ\(\overparen{AB}\) \( = 60^\circ \) là góc ở tâm và  \(OA = OB = AB\)

\( \Rightarrow \Delta {\rm A}OB\) là tam giác đều.

Vậy  \(AB = R.\)

Ta có \(\widehat {AOD} = \) sđ \(\overparen{AD}\) \( = 90^\circ \)và \(OA = OD = R \Rightarrow \Delta AOD\) là tam giác vuông cân.

\(A{D^2} = O{A^2} + O{D^2} = 2{R^2}.\) Vậy \(AD = R\sqrt 2 \) và \(BC = AD = R\sqrt 2 ,\) vì \(ABCD\) là hình thang cân.

Kẻ \(OH \bot CD\) tại \(H\) 

Vì sđ\(\overparen{CD}\) \( = 120^\circ \) \(\Rightarrow \widehat{COD}=120^0.\)

Lại có \(\Delta DOC\) cân tại \(O\) có \(OH\) là đường cao nên \(OH\) cũng là đường phân giác

\( \Rightarrow \widehat{HOC}=\widehat{DOC}:2=120^0:2=60^0.\)

Xét \(\Delta OCH\) vuông tại \(H\) ta có:

\(HC=OC.\sin \widehat{COH}=\dfrac{R\sqrt{3}}{2}.\)

Mà \(H\) là trung điểm của \(CD\) (định lý đường kính vuông góc với dây cung thì đi qua trung điểm của dây ấy).

\(\Rightarrow CD=2.CH=R\sqrt3.\)

Vậy \(AB = R;DC = R\sqrt3;BC = AD = R\sqrt 2 \)