Đề bài
Từ độ cao 63m của tháp nghiêng PISA ở Italia (H.5) người ta thả một quả bóng cao su xuống đất. Giả sử mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên một độ cao bằng \({1 \over {10}}\) độ cao mà quả bóng đạt được ngay trước đó.
Tính độ dài hành trình của quả bóng từ thời điểm ban đầu cho đến khi nó nằm yên trên mặt đất.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Tính độ dài hành trình của quả bóng đến từng thời điểm chạm đất rồi suy ra tổng.
Lời giải chi tiết
Mỗi khi chạm đất quả bóng lại nảy lên một độ cao bằng \({1 \over {10}}\) độ cao của lần rơi ngay trước đó và sau đó lại rơi xuống từ độ cao thứ hai này. Do đó, độ dài hành trình của quả bóng kể từ thời điểm rơi ban đầu đến:
- thời điểm chạm đất lần thứ nhất là \({d_1} = 63\) ;
- thời điểm chạm đất lần thứ hai là \({d_2} = 63 + 2.{{63} \over {10}}\) ;
- thời điểm chạm đất lần thứ ba là \({d_3} = 63 + 2.{{63} \over {10}} + 2.{{63} \over {{{10}^2}}}\) ;
- thời điểm chạm đất lần thứ tư là \({d_4} = 63 + 2.{{63} \over {10}} + 2.{{63} \over {{{10}^2}}} + 2.{{63} \over {{{10}^3}}}\) ;
…
- thời điểm chạm đất lần thứ n (n > 1) là
\({d_n} = 63 + 2.{{63} \over {10}} + 2.{{63} \over {{{10}^2}}} + ... + 2.{{63} \over {{{10}^{n - 1}}}}\)
(Có thể chứng minh khẳng định này bằng quy nạp).
Do đó, độ dài hành trình của quả bóng kể từ thời điểm rơi ban đầu đến khi nằm yên trên mặt đất là :
\(d = 63 + 2.{{63} \over {10}} + 2.{{63} \over {{{10}^2}}} + ... + 2.{{63} \over {{{10}^{n - 1}}}} + ...\) (mét).
Vì \(2.{{63} \over {10}},2.{{63} \over {{{10}^2}}},...,2.{{63} \over {{{10}^{n - 1}}}},...\) là một cấp số nhân lùi vô hạn, công bội \(q = {1 \over {10}}\) nên ta có \(2.{{63} \over {10}} + 2.{{63} \over {{{10}^2}}} + ... + 2.{{63} \over {{{10}^{n - 1}}}} + ... = {{2.{{63} \over {10}}} \over {1 - {1 \over {10}}}} = 14\)
Vậy, \(d = 63 + 2.{{63} \over {10}} + 2.{{63} \over {{{10}^2}}} + ... + 2.{{63} \over {{{10}^{n - 1}}}} + ... = 63 + 14 = 77\) (mét).
Grammar Expansion
Chuyên đề 1. Phép biến hình phẳng
Bài giảng ôn luyện kiến thức giữa học kì 1 môn Hóa học lớp 11
Bài 12: Tiết 1: Khái quát về Ô-xtrây-li-a - Tập bản đồ Địa lí 11
Bài giảng ôn luyện kiến thức cuối học kì 2 môn Sinh học lớp 11
SBT Toán Nâng cao Lớp 11
Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo
Chuyên đề học tập Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
SGK Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo
Chuyên đề học tập Toán 11 - Cánh Diều
SBT Toán 11 - Cánh Diều
SBT Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
SGK Toán 11 - Chân trời sáng tạo
SGK Toán 11 - Cánh Diều
Tổng hợp Lí thuyết Toán 11
Bài giảng ôn luyện kiến thức môn Toán lớp 11
SGK Toán Nâng cao Lớp 11
SGK Toán Lớp 11