Bài 7 trang 109 SGK Hình học 12 Nâng cao

Từ một điểm đến một mặt phẳng.

Lời giải chi tiết:

Cho điểm A(x₀,y₀,z₀),mp(α):Ax+By+Cz+D=0;

Khoảng cách từ điểm A đến mp(α) được xác định như sau:

\(d\left( {A,\left( \alpha  \right)} \right) = \dfrac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\)

Từ một điểm đén một đường thẳng

Lời giải chi tiết:

Cho điểm A(x₀,y₀,z₀) và đường thẳng \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = {x_1} + {a_1}t\\y = {y_1} + {b_1}t\\z = {z_1} + {c_1}t\end{array} \right.,t \in \mathbb{R}\)

Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng (d₁) là: \(d\left( {A,\left( {{d_1}} \right)} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {A{M_1}} ,\overrightarrow {{u_1}} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right|}}\)

Trong đó M₁ (x₁,y₁,z₁) là điểm trên (d₁ ), \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {{a_1};{b_1};{c_1}} \right)\) là vectơ chỉ phương của d₁.

Giữa hai đường chéo nhau.

Lời giải chi tiết:

Cho hai đường thẳng \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = {x_1} + {a_1}t\\y = {y_1} + {b_1}t\\z = {z_1} + {c_1}t\end{array} \right.,t \in \mathbb{R}\) và \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = {x_2} + {a_2}t\\y = {y_2} + {b_2}t\\z = {z_2} + {c_2}t\end{array} \right.,t \in \mathbb{R}\) chéo nhau, khi đó khoảng cách giữa hai đường thẳng d₁ và d₂ là: \(d\left( {{d_1},{d_2}} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{M_1}{M_2}} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right|}}\)

Trong đó M₁∈d₁ và \(\overrightarrow {{u_1}} \) là vectơ chỉ phương của d₁

M₂ ∈d₂ và \(\overrightarrow {{u_2}} \) là vectơ chỉ phương của d₂

Giữa hai đường thẳng song song

Lời giải chi tiết:

Cho hai đường thẳng \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = {x_1} + {a_1}t\\y = {y_1} + {b_1}t\\z = {z_1} + {c_1}t\end{array} \right.,t \in \mathbb{R}\) và \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = {x_2} + {a_2}t\\y = {y_2} + {b_2}t\\z = {z_2} + {c_2}t\end{array} \right.,t \in \mathbb{R}\) song song với nhau, khi đó cách từ d₁ đến d₂ là khoảng cách từ 1 điểm trên d₁ đến đường thẳng d₂, chẳng hạn: \(d\left( {{d_1},{d_2}} \right) = d\left( {M,{d_2}} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{M_1}{M_2}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|}}\)

Trong đó M₁∈d₁,M₂∈d₂, \(\overrightarrow {{u_2}} \) là vectơ chỉ phương của đường thẳng d₂.

Giữa hai mặt song song.

Lời giải chi tiết:

Cho hai mặt phẳng (α) và (β) song song với nhau, khi đó khoảng cách giữa (α) và (β) là khoảng cách từ một điểm M bất kì thuộc (β)đến (α).

Chẳng hạn, M(x₀,y₀,z₀)∈(β) và (α):Ax+By+Cz+D=0

Khi đó \(d\left( {\left( \alpha  \right),\left( \beta  \right)} \right) = d\left( {M,\left( \alpha  \right)} \right)\) \( = \dfrac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\)

Giữa đường và mặt phẳng song song với đường thẳng đó.

Lời giải chi tiết:

Giả sử đường thẳng d₁ song song với mặt phẳng (α):Ax+By+Cz+D=0.

Khi đó khoảng cách từ d₁ đến mặt phẳng (α) là khoảng cách từ 1 điểm M bất kì thuộc d₁ đến mp(α)

Chẳng hạn M₁ (x₁,y₁,z₁ )∈d₁, khi đó ta có:

\(d\left( {{d_1},\left( \alpha  \right)} \right) = d\left( {{M_1},\left( \alpha  \right)} \right)\) \( = \dfrac{{\left| {A{x_1} + B{y_1} + C{z_1} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\)