Bài 75 trang 89 SBT toán 8 tập 1

Đề bài

Cho hình bình hành \(ABCD.\) Tia phân giác của góc \(A\) cắt \(CD\) ở \(M.\) Tia phân giác của góc \(C\) cắt \(AB\) ở \(N.\) Chứng minh rằng \(AMCN\) là hình bình hành.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức: Trong hình bình hành, hai góc đối bằng nhau.

Dấu hiệu nhận biết: Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành.

Lời giải chi tiết

Vì ABCD là hình bình hành nên  \(\widehat A = \widehat C\)  (tính chất hình bình hành)

\( \displaystyle {\widehat A_2} = {1 \over 2}\widehat A\) (do AM là tia phân giác của góc BAD)

\(\displaystyle  {\widehat C_2} = {1 \over 2}\widehat C \) (do CN là tia phân giác của góc BCD)

Suy ra: \(\widehat A_2=\widehat C_2\) (vì \(\widehat A = \widehat C)\)

Lại có \(AB // CD\;\;\) (do ABCD là hình bình hành)

Nên \(AN // CM \;\;(1)\)

Mà  \({\widehat N_1} = {\widehat C_2}\) (so le trong)

Suy ra: \({\widehat A_2} = {\widehat N_1}\)

\(⇒ AM // CN \) ( vì có các cặp góc ở vị trí đồng vị bằng nhau) \((2)\)

Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra: Tứ giác \(AMCN\) là hình bình hành ( theo định nghĩa)