Bài 84 trang 90 SBT toán 8 tập 1

Đề bài

Trên hình \(11,\) cho \(ABCD\) là hình bình hành. Chứng minh rằng:

\(a)\) \(EGFH\) là hình bình hành

\(b)\) Các đường thẳng \(AC,\)\( BD,\) \(EF,\) \(GH\) đồng quy.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức:

+) Trong hình bình hành, hai góc đối bằng nhau.

+) Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành.

+) Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành.

+) Trong hình bình hành, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Lời giải chi tiết

\(a)\) Vì ABCD là hình bình hành nên \(AB//CD, AB=CD,\) \(AD//BC, AD=BC\) (tính chất)

+) Ta có: \(EB=AB-AE,DF=CD-CF\) mà \(AB=CD, AE=CF\) (gt) nên \(EB=DF\)

+) Ta có: \(AH=AD-DH, CG=BC-BG\) mà \(AD=BC, DH=BG\) (gt) nên \(AH=CG\)

Xét \(∆ AEH\) và \(∆ CFG:\)

\(AE = CF\) (gt)

\(\widehat A = \widehat C\) (tính chất hình bình hành ABCD)

\(AH = CG\) (cmt)

Do đó: \(∆ AEH = ∆ CFG \;\;(c.g.c)\)

\(⇒ EH = FG\) (1)

Xét \(∆ BEG\) và \(∆DFH:\)

\(DH = BG \;\;(gt)\)

\(\widehat B = \widehat D\) (tính chất hình bình hành ABCD)

\(BE = DF \) (cmt)

Do đó: \(∆ BEG = ∆DFH\;\; (c.g.c)\)

\(⇒ EG = FH\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: Tứ giác \(EGFH\) là hình bình hành (vì có các cặp cạnh đối bằng nhau)

\(b)\) Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(EF.\)

Xét tứ giác \(AECF,\) có: 

\(AE // CF\) (do \(AB // CD )\) và \(AE = CF\;\; (gt)\)

Suy ra: Tứ giác \(AECF\) là hình bình hành (vì có \(1\) cặp cạnh đối song song và bằng nhau)

\(⇒ O\) là trung điểm của \(AC\) và \(EF\)

Tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành có \(O\) là trung điểm của \(AC\) nên \(O\) cũng là trung điểm của \(BD.\)

Tứ giác \(EGFH\) là hình bình hành có \(O\) là trung điểm của \(EF\) nên \(O\) cùng là trung điểm của \(GH.\)

Vậy \(AC, BD, EF, GH\) đồng quy tại \(O.\)