Bài 84 trang 120 SBT toán 9 tập 1

Đề bài

Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), \(AB = a, AC = 3a\). Trên cạnh \(AC\) lấy các điểm \(D, E\) sao cho \(AD = DE = EC.\)

a) Chứng minh: \(\displaystyle {{DE} \over {DB}} = {{DB} \over {DC}}\)

b) Chứng minh \(∆BDE\)  đồng dạng  \(∆CDB\)

c) Tính tổng \(\widehat {AEB} + \widehat {BCD}\) bằng hai cách

Cách 1: Sử dụng kết quả ở câu b);

Cách 2: Dùng máy tính bỏ túi hoặc bảng lượng giác.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Áp dụng định lí Py-ta-go trong tam giác vuông.

- Các trường hợp bằng nhau của tam giác.

- Sử dụng: Trong tam giác ABC vuông tại A thì \(tan\widehat {ACB} = \displaystyle {{AB} \over {AC}}\)

Lời giải chi tiết

a) Ta có: \(AD = DE = EC = \dfrac{{AC}}{3} = a\)

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông \(ABD\), ta có:

\(B{D^2} = A{D^2} + A{B^2} = {a^2} + {a^2} = 2{a^2}\)

Suy ra: \(BD = a\sqrt 2 \)

Ta có: 

\(\eqalign{
& {{DE} \over {DB}} = {a \over {a\sqrt 2 }} = {{\sqrt 2 } \over 2}; \cr 
& {{DB} \over {DC}} = {{a\sqrt 2 } \over {2a}} = {{\sqrt 2 } \over 2} \cr} \)

Vậy \(\displaystyle {{DE} \over {DB}} = {{DB} \over {DC}}\)

b) Xét \(∆BDE\) và \(∆CDB\), ta có:

\(\displaystyle {{DE} \over {DB}} = {{DB} \over {DC}}\)        (1)

\(\widehat {BDE} = \widehat {BDC}\)        (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(∆BDE\) đồng dạng \(∆CDB\) (c-g-c).

c) * Cách 1:

Ta có: \(∆BDE\) đồng dạng \(∆CDB\) \(\Rightarrow \widehat {BED} = \widehat {CBD}\)

Mặt khác:

\(\widehat {AEB} + \widehat {BCD} = \widehat {BED} + \widehat {BCD}\)\( = \widehat {CBD} + \widehat {BCD}\)         (3)

Trong \(∆BCD\), ta có:

\(\widehat {ADB} = \widehat {CBD} + \widehat {BCD}\) (tính chất góc ngoài) (4)

Lại có: \(\widehat {ADB} = 45^\circ \) (vì ∆ABD vuông cân tại A) (5)

Từ (3), (4) và (5) suy ra: \(\widehat {AEB} + \widehat {BCD} = 45^\circ \)

*  Cách 2:

Ta có: \(AE=AD+DE=2a\) 

Trong tam giác \( ABE\), ta có: 

\(tan\widehat {AEB} = \displaystyle {{AB} \over {AE}} = {a \over {2a}} = {1 \over 2}\)

Suy ra: \(\widehat {AEB} = 26^\circ 34'\)

Trong tam giác vuông \(ABC\), ta có: 

\(tan\widehat {ACB} = \displaystyle {{AB} \over {AC}} = {a \over {3a}} = {1 \over 3}\)

Suy ra: \(\widehat {ACB} = 18^\circ 26'\)

Suy ra \(\widehat {AEB} + \widehat {ACB}=26^\circ 34'+18^\circ 26'=45^0\)

Vậy \(\widehat {AEB} + \widehat {ACB} = \widehat {AEB} + \widehat {BCD} = 45^\circ \)