Giải Bài 90 trang 95 sách bài tập toán 7 - Cánh diều

Đề bài

Cho tam giác ABC cân ở A có $$. Đường trung trực của các cạnh AB và AC cắt nhau ở I và cắt cạnh BC lần lượt tại D, E (Hình 56).

a) Chứng minh điểm I nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng DE.

b) Đường tròn tâm I bán kính IA đi qua những điểm nào?

c) Tính số đo các góc của tam giác IBC.

Lời giải chi tiết

a) Gọi P và Q lần lượt là giao điểm của hai đường trung trực d, d’ với AC, AB.

•Vì tam giác ABC cân tại A nên AB = AC, $$.

Vì Q là trung điểm của AB nên AQ = QB = $$AB.

Vì P là trung điểm của AC nên AP = PC = $$AC.

Mà AB = AC nên AQ = BQ = AP = CP.

• Xét ∆AQI và ∆API có:

AI là cạnh chung,

AQ = AP (chứng minh trên)

Do đó ∆AQI= ∆API (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Do đó QI = PI (hai cạnh tương ứng).

• Xét ∆BQD và ∆CPE có:

$$,

$$ (chứng minh trên),

BQ = CP (chứng minh trên)

Do đó ∆BQD = ∆CPE (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).

Suy ra QD = PE (hai cạnh tương ứng).

• Ta có: QI = QD + DI và PI = PE + EI.

Mà QI = PI và QD = PE (chứng minh trên)

Do đó DI = EI nên điểm I nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng DE.

Vậy điểm I nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng DE.

b) Vì I nằm trên đường trung trực của AB nên IA = IB.

Vì I nằm trên đường trung trực của AC nên IA = IC.

Suy ra IA = IB = IC

Nên đường tròn tâm I bán kính IA đi qua các điểm A, B, C

Vậy đường tròn tâm I bán kính IA đi qua các điểm A, B, C.

c) Vì ∆AQI= ∆API (chứng minh câu a)

Nên $$ (hai góc tương ứng)

Do đó AI là tia phân giác của góc BAC và $$

Xét tam giác ABI có IA = IB (chứng minh câu b) nên tam giác ABI cân tại I.

Lại có $$ nên tam giác ABI là tam giác đều.

Do đó IA = IB = AB.

Mà AB = AC, IA = IB = IC nên IA = IB = IC = AB = AC.

Xét ∆BAC và ∆BIC có:

AB = IB (chứng minh trên),

AC = IC (chứng minh trên),

BC là cạnh chung

Do đó ∆BAC = ∆BIC (c.c.c)

Suy ra $$  (các cặp góc tương ứng)

Xét ∆ABC có $$ (tổng ba góc của một tam giác).

Mà $$ (giả thiết) và $$ (do ∆ABCcân tại A).

Suy ra $$

Do đó $$

Vậy $$.