Bài tập trắc nghiệm trang 175, 176 SBT đại số và giải tích 11

Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A. Nếu lim|u_n| = +∞ thì lim u_n = +∞;

B. Nếu lim|u_n| = +∞ thì lim u_n = −∞;

C. Nếu lim u_n = 0 thì lim|u_n| = 0;

D. Nếu lim u_n = −a thì lim|u_n| = a.

Lời giải chi tiết:

Cách 1: Ta có ||u_n|| = |u_n|. Do đó, nếu (u_n) có giới hạn là 0 thì (|u_n|) cũng có giới hạn 0.

Cách 2: (loại trừ các phương án khác bằng cách phản ví dụ): Chẳng hạn, u_n = -n cho phép loại trừ phương án A, u_n = n cho phép loại trừ phương án B, u_n = 1 và a = -1 cho phép loại trừ phương án D.

Chọn đáp án: C

\(\lim \dfrac{{{2^n} - {3^n}}}{{{2^n} + 1}}\) bằng:

A. 1          B. -∞          C. 0          D. +∞

Phương pháp giải:

Tính giới hạn bằng cách chia tử số và mẫu số cho 3ⁿ.

Lời giải chi tiết:

\(\lim \dfrac{{{2^n} - {3^n}}}{{{2^n} + 1}}\)\( = \lim \dfrac{{{{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)}^n} - 1}}{{{{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)}^n} + \dfrac{1}{{{3^n}}}}}\)

Vì \(\lim \left[ {{{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)}^n} - 1} \right] = 0 - 1 =  - 1 < 0\) và \(\left\{ \begin{array}{l}\lim \left[ {{{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)}^n} + \dfrac{1}{{{3^n}}}} \right] = 0\\{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^n} + \dfrac{1}{{{3^n}}} > 0\end{array} \right.\) nên \(\lim \dfrac{{{{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)}^n} - 1}}{{{{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)}^n} + \dfrac{1}{{{3^n}}}}} =  - \infty \)

Vậy \(\lim \dfrac{{{2^n} - {3^n}}}{{{2^n} + 1}} =  - \infty \)

Chọn đáp án: B

\(\lim \left( {\sqrt {{n^2} - n + 1}  - n} \right)\) bằng:

A. 0          B. 1          C. -1/2          D. -∞

Phương pháp giải:

Tính giới hạn bằng cách nhân và chia biểu thức liên hợp.

Lời giải chi tiết:

\(\lim \left( {\sqrt {{n^2} - n + 1}  - n} \right)\)

\(\begin{array}{l} = \lim \dfrac{{\left( {\sqrt {{n^2} - n + 1}  - n} \right)\left( {\sqrt {{n^2} - n + 1}  + n} \right)}}{{\sqrt {{n^2} - n + 1}  + n}}\\ = \lim \dfrac{{{n^2} - n + 1 - {n^2}}}{{\sqrt {{n^2} - n + 1}  + n}}\\ = \lim \dfrac{{ - n + 1}}{{\sqrt {{n^2} - n + 1}  + n}}\\ = \lim \dfrac{{n\left( { - 1 + \dfrac{1}{n}} \right)}}{{n\sqrt {1 - \dfrac{1}{n} + \dfrac{1}{{{n^2}}}}  + n}}\\ = \lim \dfrac{{ - 1 + \dfrac{1}{n}}}{{\sqrt {1 - \dfrac{1}{n} + \dfrac{1}{{{n^2}}}}  + 1}}\\ = \dfrac{{ - 1 + 0}}{{\sqrt {1 - 0 + 0}  + 1}}\\ =  - \dfrac{1}{2}\end{array}\)

Chọn đáp án: C

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {x - {x^3} + 1} \right)\) bằng:

A. 1          B. -∞          C. 0          D. +∞

Phương pháp giải:

Tính trực tiếp giới hạn.

Lời giải chi tiết:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {x - {x^3} + 1} \right)\) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {x^3}\left( {\dfrac{1}{{{x^2}}} - 1 + \dfrac{1}{{{x^3}}}} \right)\)

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {x^3} =  - \infty \) và \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {\dfrac{1}{{{x^2}}} - 1 + \dfrac{1}{{{x^3}}}} \right) =  - 1 < 0\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {x^3}\left( {\dfrac{1}{{{x^2}}} - 1 + \dfrac{1}{{{x^3}}}} \right) =  + \infty \)

Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {x - {x^3} + 1} \right) =  + \infty \)

Chọn đáp án: D

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \dfrac{{x - 1}}{{x - 2}}\) bằng:

A. -∞          B. 1/4          C. 1          D. +∞

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {x - 1} \right) = 2 - 1 = 1 > 0\) và \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {x - 2} \right) = 0\\x - 2 < 0,\forall x < 2\end{array} \right.\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \dfrac{{x - 1}}{{x - 2}} =  - \infty \)

Chọn đáp án: A

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{{2x - 1}}{{3 + 3x}}\), khi đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} f\left( x \right)\) bằng:

A. +∞          B. 2/3          C. 1          D. -∞

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} \left( {2x - 1} \right) = 2.\left( { - 1} \right) - 1 =  - 3 < 0\) và \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} \left( {3 + 3x} \right) = 0\\3 + 3x > 0,\forall x >  - 1\end{array} \right.\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} \dfrac{{2x - 1}}{{3 + 3x}} =  - \infty \)

Chọn đáp án: D

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {3^ - }} \dfrac{{{x^2} - 6}}{{9 + 3x}}\) bằng:

A. 1/3          B. -∞          C. 1/6          D. +∞

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {3^ - }} \left( {{x^2} - 6} \right) = {\left( { - 3} \right)^2} - 6 = 3 > 0\) và \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {3^ - }} \left( {9 + 3x} \right) = 0\\9 + 3x < 0,\forall x <  - 3\end{array} \right.\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {3^ - }} \dfrac{{{x^2} - 6}}{{9 + 3x}} =  - \infty \)

Chọn đáp án: B

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \dfrac{{\sqrt {4{x^2} - x + 1} }}{{x + 1}}\) bằng:

A. 2          B. -2          C. 1          D. -1

Phương pháp giải:

Đưa x² ra khỏi căn ở tử số.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \dfrac{{\sqrt {4{x^2} - x + 1} }}{{x + 1}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \dfrac{{\sqrt {{x^2}\left( {4 - \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right)} }}{{x + 1}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \dfrac{{\left| x \right|\sqrt {\left( {4 - \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right)} }}{{x + 1}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \dfrac{{ - x\sqrt {\left( {4 - \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right)} }}{{x\left( {1 + \dfrac{1}{x}} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \dfrac{{ - \sqrt {\left( {4 - \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right)} }}{{1 + \dfrac{1}{x}}}\\ = \dfrac{{ - \sqrt {4 - 0 + 0} }}{{1 + 0}}\\ =  - 2\end{array}\)

Chọn đáp án: B

Cho hàm số f(x) xác định trên đoạn [a; b]

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và f(a).f(b) > 0 thì phương trình f(x) = 0 không có nghiệm trong khoảng (a; b)

B. Nếu f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng (a; b)

C. Nếu phương trình f(x) = 0 có nghiệm trong khoảng (a; b) thì hàm số f(x) phải liên tục trên khoảng (a; b)

D. Nếu f(x) hàm số liên tục, tăng trên đoạn [a; b] và f(a).f(b) > 0 thì phương trình f(x) = 0 không thể có nghiệm trong khoảng (a; b)

Lời giải chi tiết:

Đáp án A: sai vì ta chưa thể kết luận gì về nghiệm khi f(a).f(b) > 0.

Đáp án B: sai vì thiếu điều kiện f(x) liên tục trên (a;b).

Đáp án C: sai vì vẫn có thể xảy ra trường hợp f(x) gián đoạn tại một điểm nào đó trong khoảng (a;b).

Đáp án D: đúng.

Ta có: \(f\left( a \right).f\left( b \right) > 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( a \right) > 0,f\left( b \right) > 0\\f\left( a \right) < 0.f\left( b \right) < 0\end{array} \right.\)

Do hàm số f(x) tăng trên [a;b] nên \(f\left( a \right) \le f\left( x \right) \le f\left( b \right)\).

Nếu \(f\left( a \right) > 0,f\left( b \right) > 0\) thì \(0 < f\left( a \right) \le f\left( x \right)\) \( \Rightarrow f\left( x \right) > 0,\forall x \in \left[ {a;b} \right]\) hay phương trình vô nghiệm trong \(\left[ {a;b} \right]\).

Nếu \(f\left( a \right) < 0,f\left( b \right) < 0\) thì \(f\left( x \right) \le f\left( b \right) < 0\) \( \Rightarrow f\left( x \right) < 0,\forall x \in \left[ {a;b} \right]\) hay phương trình vô nghiệm trong \(\left[ {a;b} \right]\).

Vậy trong cả hai TH thì f(x) đều không có nghiệm trong (a;b).

Chọn đáp án: D

Cho phương trình 2x⁴ - 5x² + x + 1 = 0. (1)

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng ?

A. Phương trình (1) không có nghiệm trong khoảng (-1; 1);

B. Phương trình (1) không có nghiệm trong khoảng (-2; 0);

C. Phương trình (1) chỉ có một nghiệm trong khoảng (-2; 1) ;

D. Phương trình (1) có ít nhất hai nghiệm trong khoảng (0; 2)

Lời giải chi tiết:

Đặt f(x) = 2x⁴ - 5x² + x + 1. Tính f(-1), f(0), f(1), f(2) và nhận xét dấu của chúng để kết luận.

Cách giải:

Xét f(x) = 2x⁴ - 5x² + x + 1 là hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\) nên liên tục trên các khoảng \(\left( { - 1;0} \right),\left( {0;1} \right),\left( {1;2} \right)\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}f\left( { - 1} \right) =  - 3\\f\left( 0 \right) = 1\\f\left( 1 \right) =  - 1\\f\left( 2 \right) = 15\end{array}\)

Do đó:

+) \(f\left( { - 1} \right).f\left( 0 \right) < 0\) nên phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có ít nhất một nghiệm trong \(\left( { - 1;0} \right)\)

Loại A, B.

+) \(f\left( 0 \right).f\left( 1 \right) < 0\) nên phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có ít nhất một nghiệm trong \(\left( {0;1} \right)\)

Do đó phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có ít nhất hai nghiệm trong \(\left( { - 1;1} \right) \subset \left( { - 2;1} \right)\).

Loại C.

+) \(f\left( 1 \right).f\left( 2 \right) < 0\) nên phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có ít nhất một nghiệm trong \(\left( {1;2} \right)\).

Do đó phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có ít nhất hai nghiệm trong \(\left( {0;2} \right)\).

Chọn đáp án: D