Mục 2 trang 21, 22 Chuyên đề học tập Toán 11 Chân trời sáng tạo

1. Nội dung câu hỏi

Giả sử Đ_O là phép đối xứng tâm O. Lấy hai điểm tùy ý A, B sao cho ba điểm O, A, B không thẳng hàng. Gọi A’, B’ lần lượt là ảnh của A, B qua Đ_O. So sánh tam giác OAB và tam giác O’A’B’ rồi so sánh A’B’ và AB.

2. Phương pháp giải

Vẽ hình sau đó quan sát và so sánh

3. Lời giải chi tiết

Theo đề, ta có \({Đ_O}\left( A \right){\rm{ }} = {\rm{ }}A'.\)

Suy ra O là trung điểm AA’, do đó \(OA{\rm{ }} = {\rm{ }}OA'.\)

Chứng minh tương tự, ta được \(OB{\rm{ }} = {\rm{ }}OB'.\)

Xét \(\Delta OAB\) và \(\Delta OA'B'\), có:

\(OA{\rm{ }} = {\rm{ }}OA'\)  (chứng minh trên);

\(\widehat {AOB} = \widehat {A'OB'}\) (đối đỉnh);

\(OB{\rm{ }} = {\rm{ }}OB'\) (chứng minh trên).

Do đó \(\Delta OAB{\rm{ }} = {\rm{ }}\Delta OA'B'{\rm{ }}\left( {c.g.c} \right).\)

Suy ra \(A'B'{\rm{ }} = {\rm{ }}AB\) (cặp cạnh tương ứng).

Vậy \(\Delta OAB{\rm{ }} = {\rm{ }}\Delta OA'B'{\rm{ }}\) và \(A'B'{\rm{ }} = {\rm{ }}AB.\)

1. Nội dung câu hỏi

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm ảnh qua Đ_O của

a) điểm M(3; –4);

b) đường thẳng d: x – 3y + 6 = 0;

c) đường tròn (C): (x + 2)² + (y – 1)² = 4.

2. Phương pháp giải:

Nếu \(M'{\rm{ }} = {\rm{ }}{Đ_I}\left( M \right)\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}{x_{M'}} + {x_M} = 2{x_I}\\{y_{M'}} + {y_M} = 2{y_I}\end{array} \right.\) (I là trung điểm của MM’)

3. Lời giải chi tiết:

a) Gọi M’ là ảnh của M qua Đ_O.

Suy ra O là trung điểm của MM’ với \(M\left( {3;{\rm{ }}-4} \right).\)

Do đó \(\left\{ \begin{array}{l}{x_{M'}} = 2{x_O} - {x_M} = 2.0 - 3 =  - 3\\{y_{M'}} = 2{y_O} - {y_M} = 2.0 + 4 = 4\end{array} \right.\)

Vậy \(M'\left( {-3;{\rm{ }}4} \right).\)

b) • Chọn \(A\left( {0;{\rm{ }}2} \right) \in d:{\rm{ }}x{\rm{ }}-{\rm{ }}3y{\rm{ }} + {\rm{ }}6{\rm{ }} = {\rm{ }}0.\)

Gọi A’là ảnh của A qua \({Đ_O}.\)

Suy ra O là trung điểm của AA’ với A(0; 2)

Do đó \(\left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} = 2{x_O} - {x_A} = 2.0 - 0 = 0\\{y_{A'}} = 2{y_O} - {y_A} = 2.0 - 2 =  - 2\end{array} \right.\)

Vì vậy A’(0; –2).

• Đường thẳng \(d:{\rm{ }}x{\rm{ }}-{\rm{ }}3y{\rm{ }} + {\rm{ }}6{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) có vectơ pháp tuyến \({\rm{\vec n}} = \left( {1; - 3} \right)\)

Gọi d’ là ảnh của d qua \({Đ_O}.\)

Suy ra d’ song song hoặc trùng với d, nên d’ nhận vectơ pháp tuyến của d là \({\rm{\vec n}} = \left( {1; - 3} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.

Vậy đường thẳng d’ đi qua A’(0; –2) và nhận làm vectơ \({\rm{\vec n}} = \left( {1; - 3} \right)\) pháp tuyến nên có phương trình là:

\(1\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}0} \right){\rm{ }}-{\rm{ }}3\left( {y{\rm{ }} + {\rm{ }}2} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}0 \Leftrightarrow x-3y-6 = 0.\)

c) Đường tròn \(\left( C \right):{\rm{ }}{\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}2} \right)^2}\; + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right)^2}\; = {\rm{ }}4\) có tâm I(–2; 1), bán kính R = 2.

Gọi (C’) là ảnh của (C) qua Đ_O nên (C’) có tâm là ảnh của I(–2; 1) và có bán kính R’ = R = 2.

Gọi I’= Đ_O(I).

Suy ra O là trung điểm \(II'.\)

Do đó \(\left\{ \begin{array}{l}{x_{I'}} = 2{x_O} - {x_I} = 2.0 + 2 = 2\\{y_{I'}} = 2{y_O} - {y_I} = 2.0 - 1 =  - 1\end{array} \right.\)

Vì vậy tọa độ I’(2; –1).

Vậy đường tròn (C’) là ảnh của (C) qua Đ_O, có tâm I’(2; –1) và R’ = 2 nên có phương trình là:

\({\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}2} \right)^2}\; + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)^2}\; = {\rm{ }}4.\)

1. Nội dung câu hỏi

Trong Hình 6, tìm các số ghi tại điểm đối xứng qua tâm bia với điểm ghi các số 20; 7; 9.

2. Phương pháp giải

Quan sát hình 6 để tìm

3. Lời giải chi tiết

Gọi O là tâm bia.

• Lấy điểm A nằm trong ô có điểm ghi số 20. Lấy A’ đối xứng với A qua O.

Khi đó ta được điểm A’ nằm trong ô có điểm ghi số 8.

• Lấy điểm B nằm trong ô có điểm ghi số 7. Lấy B’ đối xứng với B qua O.

Khi đó ta được điểm B’ nằm trong ô có điểm ghi số 18.

• Lấy điểm C nằm trong ô có điểm ghi số 9. Lấy C’ đối xứng với C qua O.

Khi đó ta được điểm C’ nằm trong ô có điểm ghi số 15.

Vậy điểm đối xứng qua tâm bia với điểm ghi các số 20; 7; 9 lần lượt là 8; 18; 15.