Câu hỏi mục 4 trang 43, 44, 45

Giả sử đường elip (E) là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho $$, ở đó $$ với $$. Ta chọn hệ trục tọa độ $$ có gốc là trung điểm của đoạn thẳng $$. Trục $$ là đường trung trực của $$ và $$ nằm trên tia $$ (Hình 8). Khi đó $$ là các tiêu diểm của elip (E)

Giả sử điểm $$ thuộc elip (E)

Chứng minh rằng:

a) $$

b) $$

c) $$

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: $$

b) Ta có: $$

c) $$

Sử dụng đẳng thức c) ở trên và đẳng thức $$, chứng minh:

a) $$

b) $$

c) $$

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: $$

b) Ta có: $$

Cộng hai vế của (1) và (2) ta được: $$

c) Ta có: $$

Cho elip có phương trình chính tắc $$. Giả sử M là điểm thuộc elip và có hoành độ là 2. Tìm độ dài của các bán kính qua tiêu của điểm M.

Phương pháp giải:

Cho elip (E): $$ $$

+ Độ dài bán kính qua tiêu của điểm $$ trên (E) là: $$

Lời giải chi tiết:

Ta có $$. Do đó $$. Vậy độ dài các bán kính qua tiêu của điểm M là:

Cho elip có phương trình chính tắc $$. Giả sử $$ là điểm thuộc elip. Tìm  giá trị lớn nhất và bé nhất của bán kính qua tiêu $$ và $$

Phương pháp giải:

Cho elip (E): $$ $$

+ Độ dài bán kính qua tiêu của điểm $$ trên (E) là: $$

$$ có giá trị nhỏ nhất là $$ khi $$ và có giá trị lớn nhất là $$ khi $$

$$ có giá trị nhỏ nhất là $$ khi $$ và có giá trị lớn nhất là $$ khi $$

Lời giải chi tiết:

Vì $$ nên $$

Vậy $$ có giá trị nhỏ nhất là $$ khi $$ và có giá trị lớn nhất là $$ khi $$

Tương tự với $$, ta có $$ hay $$ nên $$

Vậy $$ có giá trị nhỏ nhất là $$ khi $$ và có giá trị lớn nhất là $$ khi $$

Cho elip (E): $$ với tiêu điểm $$. Tìm tọa độ $$ sao cho độ dài $$ nhỏ nhất

Phương pháp giải:

Cho elip (E): $$ $$

+ Độ dài bán kính qua tiêu của điểm $$ trên (E) là: $$

$$ có giá trị nhỏ nhất là $$ khi $$ và có giá trị lớn nhất là $$ khi $$

$$ có giá trị nhỏ nhất là $$ khi $$ và có giá trị lớn nhất là $$ khi $$

Lời giải chi tiết:

Elip (E): $$ có $$

Độ dài bán kính qua tiêu $$

Vì $$ có độ dài nhỏ nhất là $$ khi $$ nên

$$ có độ dài nhỏ nhất là $$ khi $$

Mà $$ $$

Vậy $$ thì $$ có độ dài nhỏ nhất bằng $$.