Sự biến thiên của hàm số

1. Lý thuyết

Cho hàm số $$ xác định trên khoảng (a;b).

+ Định nghĩa:

Hàm số $$ đồng biến (tăng) trên khoảng (a;b) nếu

Hàm số $$ nghịch biến (giảm) trên khoảng (a;b) nếu

Xét sự biến thiên của hàm số là tìm các khoảng hàm số đồng biến và các khoảng hàm số nghịch biến.

+ Mô tả sự biến thiên bằng bảng biến thiên

Kết quả xét sự biến thiên được tổng kết trong một bảng biến thiên. Trong đó:

Dấu mũi tên đi lên diễn tả hàm số đồng biến trên khoảng tương ứng.

Dấu mũi tên đi xuống diễn tả hàm số nghịch biến trên khoảng tương ứng.

+ Mô tả sự biến thiên bằng đồ thị

Hàm số đồng biến trên khoảng (a;b) khi và chỉ khi đồ thị hàm số  có dạng “đi lên” (từ trái sang phải) trên khoảng đó.

Hàm số nghịch biến trên khoảng (a;b) khi và chỉ khi đồ thị hàm số có dạng “đi xuống” (từ trái sang phải) trên khoảng đó.

+ Hàm số bậc nhất $$ đồng biến trên $$ nếu $$, nghịch biến trên $$ nếu $$.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Chứng minh hàm số $$đồng biến trên khoảng $$

Xét hai số bất kì $$ sao cho $$.

Ta có: $$ nên $$ hay $$

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $$

Ví dụ 2. Cho bảng biến thiên của hàm số $$

• Dấu mũi tên đi xuống diễn tả hàm số nghịch biến trên khoảng $$
• Dấu mũi tên đi lên diễn tả hàm số đồng biến trên khoảng $$

Ví dụ 3. Cho đồ thị của hàm số $$

Hàm số $$ đồng biến trên khoảng (2;5)

Hàm số $$ nghịch biến trên khoảng (-4;2)