Sự biến thiên của hàm số bậc hai.

1. Lý thuyết

Cho hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\;(a \ne 0)\)

+ Bảng biến thiên

+ Chú ý

Từ bảng biến thiên, ta thấy

Khi \(a > 0\), hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng \( - \frac{{{b^2} - 4ac}}{{4a}}\) tại \(x =  - \frac{b}{{2a}}\) và hàm số có tập giá trị là \([ - \frac{{{b^2} - 4ac}}{{4a}}; + \infty )\)

Khi \(a < 0\), hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng \( - \frac{{{b^2} - 4ac}}{{4a}}\) tại \(x =  - \frac{b}{{2a}}\) và hàm số có tập giá trị là \(( - \infty ; - \frac{{{b^2} - 4ac}}{{4a}}]\)

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Xét sự biến thiên của hàm số \(y = {x^2} + 2x + 2\)

Hàm số \(y = {x^2} + 2x + 2\) có \(a = 1,b = 2,c = 2\)

\( \Rightarrow  - \frac{b}{{2a}} =  - \frac{2}{{2.1}} =  - 1;y( - 1) = {( - 1)^2} + 2.( - 1) + 2 = 1\)

Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên \(( - 1; + \infty )\), nghịch biến trên \(( - \infty ; - 1)\)

Ví dụ 2. Lập bảng biến thiên và tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số \(y =  - {x^2} + 2x\)

Hàm số \(y =  - {x^2} + 2x\) có \(a =  - 1,b = 2,c = 0\)

\( \Rightarrow  - \frac{b}{{2a}} =  - \frac{2}{{2.( - 1)}} = 1;y(1) =  - {1^2} + 2.1 = 1\)

Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên \(( - \infty ;1)\), nghịch biến trên \((1; + \infty )\)