1. Nội dung câu hỏi
Cho hàm số $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\left\{\begin{array}{l}1-2 \mathrm{x} \text { khi } \mathrm{x} \leq-1 \\ \mathrm{x}^2+2 \text { khi } \mathrm{x}>-1\end{array}\right.$.
Tìm các giới hạn $\lim _{x \rightarrow-1^{+}} f(x), \lim _{x \rightarrow-1^{-}} f(x)$ và $\lim _{x \rightarrow-1} f(x)$ (nếu có).
2. Phương pháp giải
- Để tính giới hạn $\lim _{x \rightarrow-1^{+}} f(x), \lim _{x \rightarrow-1^{-}} f(x)$, ta áp dụng định lý về giới hạn bên trái và giới hạn bên phải của hàm số.
- Để tính giới hạn $\lim _{x \rightarrow-1} f(x)$, ta so sánh hai giới hạn $\lim _{x \rightarrow-1^{+}} f(x), \lim _{x \rightarrow-1^{-}} f(x)$.
+) Nếu $\lim _{x \rightarrow-1^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow-1^{-}} f(x)=L$ thì $\lim _{x \rightarrow-1} f(x)=L$.
+) Nếu $\lim _{x \rightarrow-1^{+}} f(x) \neq \lim _{x \rightarrow-1^{-}} f(x)$ thì không tồn tại $\lim _{x \rightarrow-1} f(x)$.
3. Lời giải chi tiết
Giả sử $\left(x_n\right)$ là dãy số bất kì, $x_n>-1$ và $x_n \rightarrow-1$. Khi đó $f\left(x_n\right)=x_n^2+2$
Ta có: $\lim f\left(x_n\right)=\lim \left(x_n^2+2\right)=\lim x_n^2+\lim 2=(-1)^2+2=3$
Vậy $\lim _{x \rightarrow-1^{+}} f(x)=3$.
Giả sử $\left(x_n\right)$ là dãy số bất kì, $x_n<-1$ và $x_n \rightarrow-1$. Khi đó $f\left(x_n\right)=1-2 x_n$.
Ta có: $\lim f\left(x_n\right)=\lim \left(1-2 x_n\right)=\lim 1-\lim \left(2 x_n\right)=\lim 1-2 \lim x_n=1-2 \cdot(-1)=3$
Vậy $\lim _{x \rightarrow-1^{-}} f(x)=3$.
Vì $\lim _{x \rightarrow-1^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow-1^{-}} f(x)=3$ nên $\lim _{x \rightarrow-1} f(x)=3$.
Review 2 (Units 4-5)
Bài 15: Dẫn xuất halogen
Chuyên đề 3. Mở đầu điện tử học
Chuyên đề 2: Tìm hiểu ngôn ngữ trong đời sống xã hội hiện nay
Đề cương ôn tập học kì 2
SGK Toán Lớp 11
SGK Toán Nâng cao Lớp 11
SBT Toán Lớp 11
SBT Toán Nâng cao Lớp 11
SGK Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
SGK Toán 11 - Cánh Diều
Chuyên đề học tập Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Chuyên đề học tập Toán 11 - Cánh Diều
Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo
SBT Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
SBT Toán 11 - Cánh Diều
SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo
Tổng hợp Lí thuyết Toán 11
Bài giảng ôn luyện kiến thức môn Toán lớp 11