Tính thể tích khối nón: Không bao giờ được phép quên công thức!

Muốn đạt điểm tối đa phần hình học không gian môn Toán, công thức tính thể tích khối nón là kiến thức các em không thể quên. Không đơn giản chỉ là một công thức tính thể tính, phần kiến thức này còn liên quan đến các khối hình học không gian khác. 

Cùng Admin tổng hợp lại công thức tính thể tích khối nón và cách vận dụng vào giải bài tập giải một số bài tập trong phần chia sẻ sau nhé!

Hình nón và các định nghĩa liên quan

Thông thường, khối nón được xem là một hình chóp có độ cao h, có một đáy là một hình tròn có bán kính r. Hình nón có thể được phân thành ba loại, tùy thuộc vào việc đỉnh thẳng đứng hay dốc.

Khối nón có 3 loại

Hình nón: Hình nón có đỉnh vuông góc với mặt đáy

Hình nón cụt: Hình nón cụt là hình nón có 2 đường tròn đáy song song

Hình nón xiên: Là hình nón có đỉnh không vẽ được vuông góc với tâm đường tròn mà vẽ được từ một điểm bất kỳ không phải là tâm đường tròn đáy.

Hình nón có ba thuộc tính chính:

Có một đỉnh của một tam giác.

Mặt tròn gọi là mặt đáy của hình nón.

Đặc biệt nó không có bất kỳ góc cạnh nào.

Chiều cao (h) – Chiều cao là khoảng cách từ tâm hình tròn đến đỉnh của hình nón. Hình tạo bởi chiều cao và bán kính trong của hình nón là tam giác vuông.

Các thông tin chi tiết khác về hình nón, hãy tham khảo trong bài viết: Công thức tính diện tích xung quanh hình nón kèm bài tập

Công thức tính thể tích khối nón

Hiện nay, có 2 cách để các em tính thể tích khối nón. Cụ thể:

Cách 1. Để tính được thể tích của khối nón hay hình nón thì chúng ta có thể áp dụng công thức một phần ba diện tích mặt đáy nhân với chiều cao. 

Cách 2. Thể tích khối nón được tính bằng 1/3 giá trị của Pi (pi $\approx$ 3,14) nhân với bình phương bán kính đáy mặt nón và nhân với chiều cao của hình nón

Công thức: $V=\frac{1}{3} \pi r^2 h$

Trong đó:

V là thể tích của một hình nón bất kỳ

R là bán kính mặt đáy

H là đường cao hình nón

$\pi$ $\approx$ 3,14

Thể tích khối nón có thể tính từ diện tích đáy hoặc công thức chuẩn

Bài tập vận dụng tính thể tích khối nón

Các em có thể vận dụng 1 trong 2 công thức trên để áp dụng tính thể tích khối chóp cho chuẩn. Dưới đây là 1 số ví dụ minh họa để các em vận dụng công thức tính thể thức khối nón cho thật chuẩn. 

Bài 1

Cho khối nón có độ dài đường sinh bằng 5 cm, bán kính hình tròn đáy là 3 cm. Tính thể tích khối nón.

Lời giải:

 O là đỉnh khối nón , H là tâm hình tròn , A là điểm thuộc đường tròn đáy . Có OA = 5cm, HA = 3cm

Trong tam giác vuông OHA, Ta sẽ tính được OH

$\begin{aligned} & O H=\sqrt{O A^2-H A^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4 \\ & V=\frac{1}{3} \pi \cdot R^2 \cdot h=\frac{1}{3} \pi \cdot 3^2 \cdot 4=12 \pi\left(\mathrm{cm}^3\right)\end{aligned}$

Vậy thể tích của khối trụ sẽ là : V = 12$\pi$ = 37,68 $\mathrm{cm}^3$   

Bài 2

Cho khối nón có đỉnh là O có độ dài đường sinh bằng 5cm, bán kính hình tròn đáy là 3cm. Tính thể tích khối nón.

l=5cm R=3cm .

Lời giải:

Gọi O là đỉnh khối nón

H là tâm hình tròn

A là điểm thuộc đường tròn đáy

Như trên đề bài thì ta có OA=5cm, HA=3cm

Trong tam giác vuông OHA,

$\begin{aligned} & O H=\sqrt{O A^2-H A^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4 \\ & V=\frac{1}{3} \pi \cdot R^2 \cdot h=\frac{1}{3} \pi \cdot 3^2 \cdot 4=12 \pi\left(\mathrm{cm}^3\right)\end{aligned}$

Vậy thể tích khối nón là : 37,68 $\mathrm{cm}^3$

Bài 3

Cho tứ diện đều ABCD có các cạnh bằng a và có đỉnh A và có đường tròn đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD . Tính thể tích khối nón ?

Lời giải:

Gọi O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD , ta có : AO =h, OC =r như hình bên

$\Rightarrow r=\frac{2}{3} \cdot \frac{a \sqrt{3}}{2}=\frac{a \sqrt{3}}{3}$.

Suy ra

$h=\sqrt{a^2-r^2}=\sqrt{a^2-\left(\frac{a \sqrt{3}}{3}\right)^2}=\frac{\sqrt{2} a}{\sqrt{3}}$.

Vậy thể tích của khối nón là :

$V=\frac{1}{3} \pi r^2 h=\frac{1}{3} \pi \frac{a^2}{3} \cdot \frac{a \sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{\pi \sqrt{6} a^3}{27}$

Bài 4

Cho hình nón N có góc ở đỉnh bằng 60 độ , mặt phẳng qua trục của hình nón và cắt hình nón theo một thiết diện là tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác bằng 2 . Hãy tính thể tích khối nón N .

Lời giải:

Trong tam giác SAB đều thì ta có SA = SB và góc S bằng 60 độ .Tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác SAB là trọng tâm của tam giác .

Ta có bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB sẽ là  :

$r=\frac{2}{3} S O=2 \Leftrightarrow S O=3$.

Mà $S O=S A \cdot \sin 60^{\circ} \Rightarrow S A=\frac{S O}{\sin 60^{\circ}}=\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2 \sqrt{3}$

Vậy bán kính của đường tròn khối nón sẽ là :

$R=\frac{A B}{2}=\frac{2 \sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$.

Từ đó chúng ta áp dụng công thức tính thể tích khối nón sẽ như sau :

$V=\frac{1}{3} \pi(\sqrt{3})^2 \cdot 3=3 \pi$

Vậy thể tích khối nón N là : 3 x 3,14 = 9,42 $\mathrm{cm}^3$

Trên đây là phần công thức tính thể tích khối nón và những bài tập vận dụng cơ bản. Ngoài những dạng bài tập cơ bản như trên, phần kiến thức thể tích khối nón còn có rất nhiều bài tập vận dụng trắc nghiệm nâng cao. Các em hãy tiếp tục theo dõi Admin để luyện tập hơn nhiều dạng bài về công thức tính thể tích khối nón nhé!