Tiệm cận ngang: Khái niệm, tính chất và bài tập áp dụng!

Tiệm cận ngang là một khái niệm quan trọng trong môn toán học, được sử dụng để mô tả hành vi của một hàm số khi x tiến tới vô cùng. Khi biết được tiệm cận ngang của một hàm số, chúng ta có thể rút ra một số thông tin hữu ích về hàm số đó. 

Vậy, tiệm cận ngang là gì? Tính chất và cách tìm tiệm cận ngang như thế nào? Tìm hiểu ngay trong bài chia sẻ dưới đây nhé!

Tiệm cận ngang là gì?

Tiệm cận ngang là một khái niệm trong giới toán học để mô tả hành vi của một hàm số khi x tiến tới vô cùng (có thể là dương hay âm). Khi nói rằng một hàm số f(x) có tiệm cận ngang, nghĩa là giá trị của hàm số f(x) sẽ tiến dần tới một giá trị cố định khi x tiến tới vô cùng.

Có hai loại tiệm cận ngang chính là tiệm cận ngang dương và tiệm cận ngang âm. Nếu giới hạn của hàm số khi x tiến tới vô cùng là một giá trị dương thì hàm số đó có tiệm cận ngang dương, và ngược lại, nếu giới hạn của hàm số khi x tiến tới vô cùng là một giá trị âm thì hàm số đó có tiệm cận ngang âm.

Tiệm cận ngang là gì?

Tại sao phải ghi nhớ tiệm cận ngang?

Tiệm cận ngang là một trong những khái niệm liên quan đến hàm số. Biết được tiệm cận ngang, các em có thể biết được những thông tin sau: 

• Hướng tiếp cận của đồ thị hàm số với tiệm cận ngang: Nếu hàm số đang tiến tới tiệm cận ngang, đồ thị của hàm số sẽ tiến dần tới tiệm cận ngang đó theo hướng dương hoặc âm, tùy thuộc vào loại tiệm cận ngang.
• Đặc tính của hàm số: Nếu hàm số có tiệm cận ngang dương, chúng ta có thể kết luận rằng giá trị của hàm số sẽ không bao giờ nhỏ hơn tiệm cận đó. Tương tự, nếu hàm số có tiệm cận ngang âm, giá trị của hàm số sẽ không bao giờ lớn hơn tiệm cận đó.
• Xác định các đường bị chặn của hàm số: Nếu hàm số có tiệm cận ngang, nó sẽ giới hạn giá trị của hàm số khi x tiến tới vô cùng, giúp chúng ta dễ dàng xác định được các đường bị chặn của hàm số.

Do đó, kiến thức về tiệm cận ngang là rất hữu ích cho các bạn học sinh trong việc giải các bài toán liên quan đến hàm số.

Cách tìm tiệm cận ngang

Để tìm tiệm cận ngang của một hàm số, ta cần làm những bước sau đây:

1. Xác định giới hạn của hàm số f(x) khi x tiến tới vô cùng bằng cách tính lim f(x) khi x tiến tới vô cùng. Nếu giới hạn này tồn tại và có giá trị cố định, ta sẽ tiếp tục với bước 2.
2. Xác định dấu của giới hạn này, nghĩa là nó là dương, âm hay bằng không. Nếu giới hạn này là dương, ta sẽ có tiệm cận ngang dương. Nếu giới hạn này là âm, ta sẽ có tiệm cận ngang âm. Nếu giới hạn này bằng không, ta sẽ không có tiệm cận ngang.

Làm sao để xác định tiệm cận ngang

Ví dụ, để tìm tiệm cận ngang của hàm số $f(x) \frac{2 x^2+3 x-1}{x^2+1}$, ta có thể thực hiện các bước sau:

Tính giới hạn của hàm số f(x) khi x tiến tới vô cùng:

$\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{2 x^2+3 x-1}{x^2+1}$

Ta có thể sử dụng quy tắc L'Hospital để tính giới hạn này:

lim [(2x² + 3x - 1)/(x² + 1)] khi x tiến tới vô cùng = lim [(4x + 3) / (2x)] khi x tiến tới vô cùng = lim [4 + 3/x] khi x tiến tới vô cùng = 4

Xác định dấu của giới hạn: giới hạn của hàm số này bằng 4, vì vậy ta có tiệm cận ngang dương là y = 4.

Các dạng bài tập về tiệm cận ngang

Dạng 1. Xác định đường tiệm cận thông qua bảng biến thiên

Dạng 2. Xác định đường tiệm cận đồ thị hàm số thông hàm số cho trước

Dạng 3. Định m để đồ thị hàm số có đường tiệm cận thỏa mãn điều kiện cho trước

Dạng 4. Xác định tiệm cận của đồ thị hàm số g[f(x)] khi biết bảng biến thiên hàm số f(x) 

Chi tiết bài tập và ví dụ 

Ví dụ 1: Đồ thị hàm số sau có các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt là: $y=\frac{1-3 x}{x+2}$

A. x = -2 và y = -3.      

B. x = -2 và y = 1.

C. x = -2 và y = 3.      

D. x = 2 và y = 1.

Giải:

Ví dụ 2: Đồ thị hàm số sau có các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt là: $y=\frac{2 x-3}{x^2-3 x+2}$

A. x = 1; x = 2 và y = 0      

B. x = 1; x = 2 và y = 2.

C. x = 1 và y = 0.      

D. x = 1; x = 2 và y = -3.

Giải

Ví dụ 3: Đồ thị hàm số sau có các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt là: $y=\frac{1-3 x^2}{x^2-6 x+9}$

A. x = 3 và y = -3.      

B. x = 3 và y = 0.

C. x = 3 và y = 1.      

D. y = 3 và x = -3.

Giải

Ví dụ 4: Tìm tất cả các đường tiệm cận của đồ thị hàm số sau: $y=\frac{x+3}{\sqrt{x^2+1}}$

A. y = 1 hoặc y = -1.      

B. x = 1.

C. y = 1.      

D. y = -1.

Giải

Bài thơ vui về tiệm cận ngang 

Đường tiệm cận

Đừng làm đường cắt nhau

Gặp nhau một lần

xa nhau mãi mãi

Đừng làm đường song song

Khoảng cách suốt đời

không lời hẹn ước

Xin làm đường tiệm cận

Mỗi ngày một gần thêm

Rồi một chiều giông bão sẽ lặng yên

Nơi vô định

thuyền hai ta cập bến

Ai có biết đâu

Anh có biết đâu

Một khoảng trống kiêu sa đơn độc

Vẫn bướng bỉnh lạ lùng

len lỏi...giữa tim nhau.

Tiệm cận ngang có thể được sử dụng để giải quyết nhiều bài toán khác nhau trong toán học. Đây là phần kiến thức rất quan trọng trong phân tích và lý thuyết hàm. Đây cũng là phần kiến thức có nhiều khả năng sẽ xuất hiện trong các đề thi. Vậy nên, các em nhớ tập trung ghi nhớ nhé!