Tổng hợp kiến thức lý thuyết về hình chữ nhật đầy đủ và chi tiết

Hình chữ nhật là gì? Tính chất và dấu hiệu của hình chữ nhật như thế nào? Các dạng bài và phương pháp giải ra sao? Click bài viết này để tìm hiểu các em nhé!

Muốn giải bài tập về hình chữ nhất trong toán 8 các em cần nắm trọn các kiến thức lý thuyết quan trọng. Bài viết này Admin không chỉ cung cấp trọng tâm kiến thức các em cần nhớ mà còn hướng dẫn chi tiết về phương pháp giải cho từng dạng bài tập về hình chữ nhật. Theo dõi ngay để học và giải toán hình dễ dàng hơn các em nhé!

Hình chữ nhật là một tứ giác có 4 góc vuông. Chẳng hạn như hình tứ giác ABCD là hình chữ nhất khi và chỉ khi: Góc A = Góc B = Góc C = Góc D = 90 độ.

Hình chữ nhật ABCD có 4 góc vuông 90 độ

Hình chữ nhật cũng có thể là một hình bình hành hoặc một hình thang cân.

Hình chữ nhật có tất cả các tính chất của hình bình hành và hình thang cân. Cụ thể các tính chất đó là:

Hình chữ nhật có 2 cặp cách đối diện luôn song song và bằng nhau
Hình chữ nhật có 4 góc bằng 90 độ
2 đường chéo của hình chữ nhật có độ dài bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Đồng thời 2 đường chéo cũng chia hình chữ nhật thành 4 tam giác đều nhau.
Nội tiếp đường tròn có tâm là tâm của hình chữ nhật, cũng chính là điểm giao nhau của 2 đường chéo.

Để nhận biết một tứ giác là hình chữ nhật, các em có thể dựa vào các dấu hiệu sau:

Một tứ giác có 3 góc vuông 90 độ thì đó là hình chữ nhật
Hình thang cân có một góc vuông 90 độ thì hình đó là hình chữ nhật
Hình bình hành có một góc vuông 90 độ thì đó là hình chữ nhật
Hình bình hành có 2 đường chéo bằng nhau cũng là hình chữ nhật
Hình vuông là một dạng đặc biệt của hình chữ nhật.

Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền sẽ có độ dài bằng nửa cạnh huyền.
Nếu một tam giác có đường trung tuyến ứng với 1 cạnh bằng nửa cạnh đó thì tam giác đó là tam giác vuông.

Các công thức tính hình chữ nhật đơn giản như sau:

Công thức tính chu vi hình chữ nhật

P = (a + b) x 2

Ví dụ: Một sân vườn hình chữ nhật có chiều dài 20m và chiều rộng là 12m. Hãy tính chu vi của sân vườn hình chữ nhật này?

Giải:

Áp dụng công thức tính chu vi hình chữ nhật, ta có chu vi sân vườn là:

P = (a + b) x 2 = (20 + 12) x 2 = 64 (m)

Vậy chu vi của sân vườn hình chữ nhật là 64m.

Công thức tính diện tích hình chữ nhật

S = a x b

Ví dụ: Một sân vườn hình chữ nhật có chiều dài 20m và chiều rộng 12m. Hãy tính diện tích của sân vườn hình chữ nhật này.

Giải:

Áp dụng công thức tính diện tích hình chữ nhật, ta có diện tích sân vườn là:

S = a x b = 20 x 12 = 240 (m²)

Vậy, diện tích sân vườn hình chữ nhật là 240m²

Trong toán học lớp 8, các em sẽ không còn gặp các dạng bài tính chu vi hay tính diện tích hình chữ nhật cơ bản nữa. Thay vào đó là các dạng bài chứng minh với độ khó cao hơn. Admin đã tổng hợp toàn bộ các dạng bài liên quan đến hình chữ nhật và đưa ra phương pháp giải để giúp các em làm bài tập nhanh hơn. Chi tiết như sau:

Dạng 1: Chứng minh tứ giác là hình chữ nhật

Để chứng minh một hình tứ giác là hình chữ nhật, các em sẽ áp dụng phương pháp giải là áp dụng các dấu hiệu nhận biết tứ giác là hình chữ nhật để chứng minh.

Tứ giác có 3 góc 90 độ là hình chữ nhật
Hình thang cân có 1 góc 90 độ là hình chữ nhật
Hình bình hành có 1 góc 90 độ là hình chữ nhật
Hình bình hành có 2 đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật

Ví dụ 1: Cho một tam giác vuông ABC, vuông tại A. Dựng một điểm M bất kỳ trên cạnh BC. Gọi D và E là điểm được dựng khi kẻ từ M vuông góc với cạnh AB và AC, Chứng minh tứ giác ADME là hình chữ nhật?

Giải:

Hình minh họa ví dụ 1

Ta có: Δ ABC là tam giác vuông tại A => Góc BAC = $90^{\circ}$

Mà $D \in A B$ và E ∊ AC => Góc DAE = $90^{\circ}$

Vì $M D \perp A B$ tại D => Góc ADM = $90^{\circ}$

$\mathrm{ME} \perp \mathrm{AC}$ tại E => Góc AEM = $90^{\circ}$

Xét tứ giác ADME có Góc DAE = Góc ADM = Góc AEM = $90^{\circ}$

Theo dấu hiệu nhận biết tứ giác có 3 góc 90 độ sẽ là hình chữ nhật

=> Tứ giác ADME là hình chữ nhật.

Dạng 2: Dùng tính chất hình chữ nhật để chứng minh tính chất hình học

Với dạng bài này, phương pháp giải cho các em là vận dụng định nghĩa và tính chất về các cạnh, góc và đường chéo của hình chữ nhật. Kết hợp thêm các kiến thức đã học về tứ giác đặc biệt để giải các dạng bài tập kiểu này.

Ví dụ 2: Cho tứ giác ABCD có cạnh $\mathrm{AB} \perp \mathrm{CD}$. Lần lượt dựng các điểm E, F, G, H là trung điểm của các cạnh BC, BD, AD, AC. Hãy chứng minh cạnh EG = FH?

Giải:

Hình minh họa ví dụ 2

Vì E là trung điểm của cạnh BC, H là trung điểm của cạnh AC

=> EH là đường trung bình của Δ ABC

=> Cạnh $\mathrm{EH} / / \mathrm{AB}$ (*) và EH = $\frac{1}{2}$.AB (theo tính chất đường trung bình trong tam giác) (1)

Chứng minh tương tự, ta cũng có GF là đường trung bình của Δ ABD

=> $\mathrm{GF} / / \mathrm{AB}$ và GF = $\frac{1}{2}$.AB (theo tính chất đường trung bình trong tam giác) (2)

Từ chứng minh (1) và (2), ta có:

$\mathrm{HE} / / \mathrm{GF}$, đồng thời HE = GF

=> GHEF là hình bình hành (theo dấu hiệu nhận biết hình bình hành) (**)

Mặt khác, ta cũng sẽ chứng minh được EF là đường trung bình của Δ BCD

=> $\mathrm{EF} / / \mathrm{CD}$ (3)

Theo giả thuyết thì $\mathrm{AB} \perp \mathrm{CD}$ (4)

Kết hợp (*), (3) và (4) ta có $\mathrm{HE} \perp \mathrm{EF}$ => Góc HEF = $90^{\circ}$(***)

Từ (**) và (***) ta có thể kết luận hình EFGH là hình chữ nhật (theo dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)

=> EG và FH chính là 2 đường chéo của hình chữ nhật EFGH => EG = FH

Dạng 3: Sử dụng định lý thuận và đảo của đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông

Với dạng bài tập này, các em sẽ sử dụng phương pháp giải là định lý về tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác vuông. Qua đó các em có thể tính được độ dài đoạn thẳng hoặc chứng minh các hình bằng nhau hoặc các tam giác vuông bằng nhau.

Ví dụ 3: Cho một hình chữ nhật ABCD, điểm H là chân đường vuông góc với đường chéo BD kẻ từ đỉnh A. Biết độ dài cạnh HB là 2cm, độ dài cạnh HD là 6cm. Hãy tính độ dài cạnh AB và AD?

Giải:

Hình minh họa ví dụ 3

Theo đề bài ta có: BD = HB + HD = 2 + 6 = 8cm

Xét Δ BHA vuông tại H, có: $\mathrm{AB}^2=\mathrm{BH}^2+\mathrm{AH}^2$ (Theo định lý Pitago)

=> $A H^2=A B^2-B H^2=A B^2-2^2=A B^2-4$ (*)

Xét Δ AHD vuông tại H, có: $A D^2=H D^2+A H^2$ (Theo định lý Pitago)

=> $A H^2=A D^2-H D^2=A D^2-6^2=A D^2-36$ (**)

Từ (*) và (**) ta có: $A B^2-4=A D^2-36$ (***)

Xét Δ ABD vuông tại A, ta có: $\mathrm{DB}^2=\mathrm{AB}^2+\mathrm{AD}^2$ (Theo định lý Pitago)

=> $A B^2=D B^2-A D^2=8^2-A D^2=64-A D^2$ (****)

Thay (****) vào (***) ta được:

$64-A D^2-4=A D^2-36$

$\Leftrightarrow 2 A D^2=96$

$\Leftrightarrow A D^2=48$

$\Leftrightarrow A D=4 \sqrt{3}(\mathrm{~cm})$ (cm) (1)

Thay (1) vào (****) ta có:

$\begin{aligned} & A B^2=64-A D^2=64-(4 \sqrt{3})^2 \\ & \Leftrightarrow A B^2=16 \\ & \Leftrightarrow A B=4(\mathrm{~cm})\end{aligned}$

Vậy, độ dài cạnh AD là $4 \sqrt{3}$ cm và độ dài cạnh AB là 4 cm.

Dạng 4: Tìm điều kiện để một tứ giác là hình chữ nhật

Đối với dạng bài tìm điều kiện để một tứ giác là hình chữ nhật các em sẽ áp dụng phương pháp giải bằng định nghĩa, tính chất và dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật.

Ví dụ 4: Chó một tứ giác ABCD có E, F, G, H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD và DA.

a, Chứng minh EFGH là hình bình hành

b, Tìm điều kiện của tứ giác ABCD để hình EFGH là hình chữ nhật.

Giải:

Hình minh họa ví dụ 4

a, Ta có, E là trung điểm của cạnh AB, H là trung điểm của cạnh AD

=> HE là đường trung bình của Δ ABD

=> $\mathrm{HE} / / \mathrm{BD}$ và HE = $\frac{1}{2}$.BD (1)

Tương tự, ta có F là trung điểm của cạnh BC, G là trung điểm của cạnh DC

=> FG là đường trung bình của Δ BCD

=> $F G / / B D$ và FG = $\frac{1}{2}$.BD (2)

Từ chứng minh (1) và (2), ta có: $\mathrm{HE} / / \mathrm{FG}$ và HE = FG

Ta xét tứ giác EFGH có: $\mathrm{HE} / / \mathrm{FG}$ và HE = FG => Tứ giác EFGH là hình bình hành.

b, Giả sử hình tứ giác EFGH là hình chữ nhật thì cần Góc HEF = 90 độ => $\mathrm{HE} \perp \mathrm{EF}$ (3)

Theo đề bài ta có: E là trung điểm của AB, F là trung điểm của BC

=> EF là đường trung bình của Δ ABC

=> $E F // A C$ (theo tính chất đường trung bình của tam giác) (4)

Mà $\mathrm{HE} // \mathrm{BD}$ (chứng minh được ở câu a) (5)

Từ chứng minh (3), (4) và (5) ra có: $B D \perp A C$

=> Tứ giác ABCD có 2 đường chéo vuông góc, nó sẽ cần thêm điều kiện 2 đường chéo vuông góc nữ thì hình tứ giác EFGH là hình chữ nhật.

Ngoài những kiến thức được Admin chia sẻ về lý thuyết hình bình hành trong toán học 8, còn có rất nhiều các thắc mắc được các em gửi về cho Admin. Admin sẽ giải đáp chi tiết như sau:

Cạnh hình chữ nhật là gì?

Cạnh hình chữ nhật là cạnh chiều dài và cạnh chiều rộng, theo đó chiều dài có độ dài lớn hơn chiều rộng.

Tính chất 2 đường chéo hình chữ nhật là gì?

Hai đường chéo hình chữ nhật không chỉ bằng nhau mà chúng còn cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Đồng thời điểm giao giao của 2 đường chéo tạo thành 4 tam giác cân với 2 tam giác đối diện bằng nhau.

Kể tên các hình chữ nhật dạng đặc biệt?

Dạng đặc biệt của hình chữ nhật có: Hình vuông, hình bình hành có 1 góc vuông 90 độ hoặc bình thang cân có một góc vuông 90 độ.

Như vậy, toàn bộ kiến thức trong bài đã giúp các em nắm trọn lý thuyết quan trọng về hình chữ nhật. Đồng thời Admin cũng đã tổng hợp các dạng bài về hình chữ nhật kèm phương pháp giải chi tiết và ví dụ cụ thể để các em dễ hình dung. Hy vọng bài viết trên bổ ích và giúp các em giải toán hình liên quan đến hình chữ nhật dễ dàng hơn nhé!