[Tổng hợp] Kiến thức về đạo hàm và dạng bài liên quan

Trong toán học, đạo hàm (tiếng Anh: derivative) của một hàm số là một đại lượng mô tả sự biến thiên của hàm tại một điểm nào đó. Đạo hàm là một khái niệm cơ bản trong giải tích. Đạo hàm còn xuất hiện trong nhiều khái niệm vật lí, chẳng hạn đạo hàm biểu diễn vận tốc tức thời của một điểm chuyển động, khi mà công cụ này giúp đo lường tốc độ mà đối tượng đó thay đổi tại một thời điểm xác định. Vì vậy, trong bài viết này chúng ta cùng nhau nhắc lại khái niệm, các quy tắc tính đạo hàm, cũng như ý nghĩa của đạo hàm và một số dạng bài tập liên quan đến đạo hàm nhé.

Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên khoảng $(a ; b)$ và điểm $x_0 \in(a ; b)$.

Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn $\lim _{x \rightarrow x_0} \frac{f(x)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$ thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số $y=f(x)$ tại $x_0$ và được kí hiệu là $f^{\prime}\left(x_0\right)$ hoặc $y_{x_0}^{\prime}$.

Nhận xét: Trong định nghĩa trên, ta đặt:

$\Delta x=x-x_0$ và gọi $\Delta x$ là số gia của biển số tại điểm $x_0$;

$\Delta y=f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)$ và gọi $\Delta y$ là số gia của hàm số ứng với số gia $\Delta x$ tại điếm $x_0$.

Khi đó, ta có: $f^{\prime}\left(x_0\right)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$.

Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên khoảng $(a ; b)$ và điểm $x_0$ thuộc khoảng đố. Để tính đạo hàm $f^{\prime}\left(x_0\right)$ của hàm số $y=f(x)$ tại $x_0$, ta lần lượt thực hiện ba bước sau:

Bước 1. Xét $\Delta x$ là số gia của biến số tại điểm $x_0$. Tính $\Delta y=f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)$.

Bước 2. Rút gọn tỉ số $\frac{\Delta y}{\Delta x}$.

Bước 3. Tính $\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$.

Kết luận: Nếu $\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=a$ thì $f^{\prime}\left(x_0\right)=a$.

Trong mục này, chúng mình cùng nhắc lại đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương; bảng đạo hàm của một số hàm sơ cấp cơ bản và hàm hợp. Ngoài ra, chúng mình còn được mở rộng thêm về đạo hàm của các phân thức hữu tỉ và đạo hàm cấp cao nữa nhé.

a) Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương

Giả sử $f=f(x), g=g(x)$ là các hàm số có đạo hàm tại điểm $x$ thuộc khoảng xác định. Ta có:

$(f + g)^{\prime} =f^{\prime}+ g^{\prime}$ ; $(f - g)^{\prime} = f^{\prime} - g^{\prime}$;

$(f . g)^{\prime}= f^{\prime}.g + f g^{\prime}$ ; $\left(\dfrac{f}{g}\right)’=\dfrac{f’ g-f g’}{g^2}, (g=g(x) \neq 0) .$

b) Bảng đạo hàm của một số hàm sơ cấp cơ bản và hàm hợp

c) Đạo hàm của các phân thức hữu tỉ

d) Đạo hàm cấp cao

- Đạo hàm lũy thừa: $\left(x^m\right)^{(n)}= \begin{cases}m(m-1)(m-2) \ldots(m-n+1) x^{m-n} & (m \geq n) \\ 0 & (m<n)\end{cases}$

- Đạo hàm của hàm số mũ và logarit:

$\left(\log _a x\right)^{(n)}=(-1)^{n-1} \frac{(n-1) !}{\ln a} \frac{1}{x^n}$

$(\ln x)^{(n)}=(-1)^{n-1}(n-1) ! x^{-n}$

$\left(e^{k x}\right)^{(n)}=k^n e^{k x}$

$\left(a^x\right)^{(n)}=(\ln a)^n a^x$

- Đạo hàm của hàm số lượng giác:

$(\sin a x)^{(n)}=a^n \sin \left(a x+\frac{n \pi}{2}\right)$

$(\cos a x)^{(n)}=a^n \cos \left(a x+\frac{n \pi}{2}\right)$

- Đạo hàm của phân thức hữu tỉ: $\left(\frac{1}{a x+b}\right)^{(n)}=(-1)^n a^n n ! \frac{1}{(a x+b)^{n+1}}$

a) Ý nghĩa vật lý của đạo hàm

Xét chuyển động thẳng xác định bởi phương trình $s=s(t)$, với $s=s(t)$ là một hàm số có đạo hàm. Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm $t_0$ là đạo hàm của hàm số tại $t_0: v\left(t_0\right)=s^{\prime}\left(t_0\right)$.

b) Ý nghĩa hình học của đạo hàm

- Đạo hàm của hàm số $y=f(x)$ tại điểm $x_0$ là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số đó tại điểm $M_0\left(x_0 ; f\left(x_0\right)\right)$.

- Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f(x)$ tại điểm $M_0\left(x_0 ; f\left(x_0\right)\right)$ là $y=f^{\prime}\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+f\left(x_0\right)$.

c) Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai

Đầu tiên chúng ta cần nhắc lại định nghĩa đạo hàm cấp hai nhé.

Giả sử hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm tại mỗi điểm $x \in(a ; b)$. Nếu hàm số $y^{\prime}=f^{\prime}(x)$ lại có đạo hàm tại $x$ thì ta gọi đạo hàm của $y^{\prime}$ là đạo hàm cấp hai của hàm số $y-f(x)$ tại $x$, kí hiệu là $y^{\prime}$ hoặc $f^{\prime \prime}(x)$.

Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai:

Một chuyển động có phương trình $s=f(t)$ thì đạo hàm cấp hai (nếu có) của hàm số $f(t)$ là gia tốc tức thời của chuyền động. Ta có: $a(t)=f^{\prime \prime}(t)$.

Dạng 1. Tính đạo hàm bằng định nghĩa

Phương pháp giải:

- Cách 1: Thực hiện 3 bước đã được đề cập ở mục 2.

- Cách 2: Để tính đạo hàm $f^{\prime}\left(x_0\right)$ của hàm số $y=f(x)$ tại $x_0 \in(a ; b)$ ta có thể thực hiện như sau:

+ Bước 1: Tính $\mathrm{f}(\mathrm{x})-\mathrm{f}\left(\mathrm{x}_0\right)$.

+ Bước 2: Lập và rút gọn tỉ số $\frac{f(x)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$ với $\mathrm{x} \in(\mathrm{a} ; \mathrm{b}), \mathrm{x} \ne \mathrm{x}_0$.

+ Bước 3: Tìm giới hạn $\lim _{x \rightarrow x_0} \frac{f(x)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$.

Ví dụ minh họa:

Tính đạo hàm của hàm số $f(x)=x+1$ tại $x_0=6$ bằng định nghĩa.

Lời giải

Cách 1:

Xét $\Delta x$ là số gia của biến số tại điểm $x_0=6$.

Ta có $\Delta y=f(6+\Delta x)-f(6)=7+\Delta x-7=\Delta x$.

Suy ra $\frac{\Delta \mathrm{y}}{\Delta \mathrm{x}}=1$.

Ta thấy $\lim _{\Delta \mathrm{x} \rightarrow 0} \frac{\Delta \mathrm{y}}{\Delta \mathrm{x}}=\lim _{\Delta \mathrm{x} \rightarrow 0} 1=1$.

Vậy $f(6)=1$.

Cách 2:

Ta có: $f(x)-f(6)=x+1-7 = x - 6$.

Với $\mathrm{x} \neq 6, \frac{f(x)-f(6)}{x-6}=\frac{x-6}{x-6}=1$.

$\lim _{x \rightarrow 6} \frac{f(x)-f(6)}{x-6}=\lim _{x \rightarrow 6}(1)=1$.

Vậy $f^{\prime}(6)=1$.

Dạng 2. Sử dụng quy tắc tính đạo hàm để tính đạo hàm

Phương pháp giải:

Sử dụng các quy tắc tính đạo hàm được đề cập ở mục 3.

Ví dụ minh họa:

Tính đạo hàm của hàm số $y=2 x^4-\frac{1}{3} x^3+2 \sqrt{x}-5$.

Lời giải:

$y^{\prime}=8 x^3-x^2+\frac{1}{\sqrt{x}}$.

Dạng 3. Bài toán chứng minh, giải phương trình, bất phương trình

Phương pháp giải:

- Tính $y^{\prime}$.

- Dùng các kiến thức đã học để rút gọn, biến đổi về phương trình hoặc bất phương trình đã biết cách giải như phương trình bậc nhất, bậc hai, bậc ba (sử dụng máy tính cầm tay).

- Đối với bài toán chứng minh bất đẳng thức thì ta biến đổi vế phức tạp thành vế đơn giản hoặc biến đồi cả hai vế cùng bằng một biểu thức trung gian.

Ngoài ra, chúng mình cần nhớ thêm một số bài toán về phương trình và bất phương trình bậc hai sau.

Một số bài toán tìm nghiệm của phương trình bậc hai thỏa mãn điều kiện cho trước.

Cho phương trình $a x^2+b x+c=0(*)$ vơi $a \neq 0$.

1. Nếu phương trình $\left(^*\right)$ có hai nghiệm $x_1, x_2$ thì $\left\{\begin{array}{l}S=x_1+x_2=-\frac{b}{a} \\ P=x_1 x_2=\frac{c}{a}\end{array}\right.$.

2. Phương trình $\left(^8\right)$ có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi $a c<0$.

3. Phương trình (*) có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi $\left\{\begin{array}{l}\Delta>0 \\ S=-\frac{b}{a}>0 \\ P=\frac{c}{a}>0\end{array}\right.$.

4. Phương trình (*) có hai nghiệm âm phân biệt khi và chỉ khi $\left\{\begin{array}{l}\Delta>0 \\ S=-\frac{b}{a}<0 \\ P=\frac{c}{a}>0\end{array}\right.$.

Một số bài toán về bất phương trình bậc hai thường gặp.

Cho tam thức bậc hai $f(x)=a x^2+b x+c=0$ với $a \neq 0$.

1. $f(x)>0, \forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a>0 \\ \Delta<0\end{array}\right.$.

2. $f(x) \geq 0, \forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a > 0 \\ \Delta \leq 0\end{array}\right.$.

3. $f(x)<0, \forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a<0 \\ \Delta<0\end{array}\right.$.

4. $f(x) \leq 0, \forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a<0 \\ \Delta \leq 0\end{array}\right.$.

Ví dụ minh họa:

Cho hàm số $f(x)=\frac{1}{3}\left(m^2-m-6\right) x^3-(m+2) x^2-4 x+m$. Tìm tham số $m$ sao cho $f^{\prime}(x)<0, \forall x \in \mathbb{R}$.

Lời giải

Ta có $f^{\prime}(x)=\left(m^2-m-6\right) x^2-2(m+2) x-4$.

- TH1: $m^2-m-6=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}m=-2 \\ m=3\end{array}\right.$.

Nếu $m=-2$ thì $f^{\prime}(x)=-4<0, \forall x \in \mathbb{R}$. Do đó, $m=-2$ thỏa mãn bài toán.

Nếu $m=3$ thì $f^{\prime}(x)=-10 x-4<0$ là nhị thức bậc nhất nên $f^{\prime}(x)$ không lớn hơn 0 với mọi $x \in \mathbb{R}$. Do đó, $m=3$ không thỏa mãn bài toán.

- TH2: $m^2-m-6 \neq 0 \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}m \neq-2 \\ m \neq 3\end{array}\right.$. Khi đó,

$f^{\prime}(x)<0, \forall x \in \mathrm{R} \Leftrightarrow\left(m^2-m-6\right) x^2-2(m+2) x-4<0, \forall x \in \mathrm{R}$

$ \Leftrightarrow\left\{\begin{array} { l } { a < 0 } \\{ \Delta ^ { \prime } < 0 }\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array} { l } { m ^ { 2 } - m - 6 < 0 } \\{ ( m + 2 ) ^ { 2 } + 4 ( m ^ { 2 } - m - 6 ) < 0 }\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array} { l } { m ^ { 2 } - m - 6 < 0 } \\{ 5 m ^ { 2 } - 2 0 < 0 }\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}-2<m<3 \\-2<m<2\end{array} \Leftrightarrow-2<m<2 .\right.\right.\right.\right.$

Vậy, giá trị $m$ cần tìm là $-2 \leq m < 2$.

Dạng 4. Chứng minh đẳng thức, giải phương trình chứa đạo hàm

Phương pháp giải:

- Tính đạo hàm của hàm số đã cho.

- Thay $y, y^{\prime}$ vào biểu thức để biến đồi chứng minh hoặc giải phương trình liên quan.

Ví dụ minh họa:

Cho hàm số $y=\tan x$. Chứng minh $y^{\prime}-y^2-1=0$.

Lời giải

Điều kiện xác định của hàm số là $x \neq \frac{\pi}{2}+k \pi, k \in Z$

Ta có $y^{\prime}=\frac{1}{\cos^2 x}=1+\tan ^2 x$

Khi đó $y^{\prime}-y^2-1=1+\tan^2 x-\tan ^2 x-1=0$

Ta có điều phải chứng minh.

Dạng 5. Giải bài toán thực tiễn

Phương pháp giải:

Vận dụng các công thức đạo hàm vào giải quyết một số bài toán tìm vận tốc tức thời, tìm gia tốc tức thời, tìm cường độ tức thời, tìm thời gian, vận tốc nhỏ nhất, vận tốc lớn nhất của vật dựa vào phương trình chuyển động s(t), phương trình điện lượng q(t) đã cho ở đề bài.

Lưu ý

- Vận tốc tức thời v(t) = s'(t).

- Gia tốc tức thời a(t) = v'(t) = s''(t).

- Cường độ tức thời I(t) = Q'(t).

Ví dụ minh họa:

Chuyển động của một vật có phương trình $s(t) = \sin \left( {0,8\pi t + \frac{\pi }{3}} \right)$, ở đó s tính bằng centimét và thời gian t tính bằng giây. Tại các thời điểm vận tốc bằng 0 , giá trị tuyệt đối của gia tốc của vật gần với giá trị nào sau đây nhất?

A. $4,5\;{\rm{cm}}/{{\rm{s}}^2}$.

B. $5,5\;{\rm{cm}}/{{\rm{s}}^2}$.

C. $6,3\;{\rm{cm}}/{{\rm{s}}^2}$.

D. $7,1\;{\rm{cm}}/{{\rm{s}}^2}$.

Lời giải

Ta có

$\begin{array}{l}v\left( t \right) = s'\left( t \right) = 0,8\pi \cos \left( {0,8\pi t + \frac{\pi }{3}} \right);\\a\left( t \right) = s''\left( t \right) = - 0,8\pi .0,8\pi \sin \left( {0,8\pi t + \frac{\pi }{3}} \right) = - 0,64{\pi ^2}\sin \left( {0,8\pi t + \frac{\pi }{3}} \right)\end{array}$

Vì

$\begin{array}{l}v\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow 0,8\pi \cos \left( {0,8\pi t + \frac{\pi }{3}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 0,8\pi t + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\\ \Leftrightarrow 0,8\pi t = \frac{\pi }{6} + k\pi \Leftrightarrow t = \frac{5}{{24}} + \frac{{5k}}{4}\end{array}$

Thời điểm vận tốc bằng 0 giá trị tuyệt đối của gia tốc của vật là

$\begin{array}{l}\left| {a\left( {\frac{5}{{24}} + \frac{{5k}}{4}} \right)} \right| = \left| { - 0,64{\pi ^2}\sin \left( {0,8\pi \left( {\frac{5}{{24}} + \frac{{5k}}{4}} \right) + \frac{\pi }{3}} \right)} \right|\\ = 0,64{\pi ^2}\left| {\sin \left( {\frac{\pi }{2} + k\pi } \right)} \right| = 0,64{\pi ^2} \approx 6,32\end{array}$

Đáp án C.

Dạng 6. Viết phương trình tiếp tuyến

Bài toán 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f(x)$ tại điểm $M\left(x_0, y_0\right)$

Phương pháp giải:

Bước 1: Tính đạo hàm $y^{\prime}=f^{\prime}(x)$. Suy ra hệ số góc tiếp tuyến $k=y^{\prime}\left(x_0\right)=f^{\prime}\left(x_0\right)$.

Bước 2: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại $M\left(x_0, y_0\right)$ có dạng $d: y=k\left(x-x_0\right)+y_0$.

- Nếu đề bài yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ $x_0$ thì khi đó ta tìm $y_0$ bằng cách thế vào hàm số ban đầu, tức $y_0=f\left(x_0\right)$. Tương tự khi đề cho $y_0$.

- Nếu đề bài yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến tại các giao điểm đồ thị $(C): y=f(x)$ và đường thẳng $d: y=a x+b$. Khi đó các hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm giữa $d$ và $(C)$. Đặc biệt phương trình của $Ox: y=0$, trục tung $Oy: x=0$.

- Nếu đề bài cho hệ số góc tiếp tuyến là $k$, ta làm theo các bước sau:

Bước 1: Gọi $M\left(x_0 ; y_0\right)$ là tiếp điểm và tính $y^{\prime}=f^{\prime}(x)$.
Bước 2: Ta có: $k=f^{\prime}\left(x_0\right)$ và giải phương trình này ta sẽ tìm được $x_0$, suy ra $y_0$.

- Bước 3: Ứng với mỗi tiếp điểm, ta tìm được một tiếp tuyến $d: y=k\left(x-x_0\right)+y_0$

Ngoài ra đề bài thường cho hệ số góc tiếp tuyến dưới dạng sau:

- Nếu tiếp tuyến $d / / \Delta: y=a x+b \Rightarrow k=a$

- Nếu tiếp tuyến $d \perp \Delta: y=ax+b \Rightarrow k=-\frac{1}{a}$.

- Nếu tiếp tuyến tạo với trục hoành $Ox$ một góc $\alpha$ thì $k=\tan \alpha$ (hoặc $k=-\tan \alpha$ ).

- Nếu tiếp tuyến tạo với $d: y=a x+b$ một góc $\alpha$ thì $\frac{k-a}{1+k a}=\tan \alpha$ (hoặc $-\tan \alpha$ ).

Ví dụ minh họa:

Viết phương trình tiếp tuyến $\Delta$ của đồ thị $(C): y=x^2-x+2$, biết $\Delta$ vuông góc với $(d): 5 y=-x+300$

Lời giải

Ta có $5 y=-x+300 \Leftrightarrow y=-\frac{1}{5} x+600$

$\Rightarrow$ hệ số góc của đường thẳng $(d)$ là $k_{d}=-\frac{1}{5}$.

Ta có $y^{\prime}=2 x-1$. Gọi $M\left(x_0 ; y_0\right)$ là tiếp điểm của tiếp tuyến $\Delta$.

Vì $\Delta \perp(d) \Leftrightarrow f^{\prime}\left(x_0\right) \cdot k_d=-1 \Leftrightarrow k_d \cdot\left(2 x_0-1\right)=-1 \Leftrightarrow 2 x_0-1=5 \Leftrightarrow x_0=3$

$\Rightarrow \left[\begin{array}{l}y_0=8 \\f^{\prime}\left(x_0\right)=2 x_0-1=5\end{array}\right.$

Vậy phương trình tiếp tuyến $(\Delta): y=5(x-3)+8=5 x-7$.

Bài toán 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f(x)$ kẻ từ $A\left(x_A ; y_A\right)$ (qua $A$ )

Phương pháp giải:

- Bước 1: Gọi $M(a; f(a))$ là tiếp điểm và tính hệ số góc tiếp tuyến $k=y^{\prime}(a)=f^{\prime}(a)$ theo $a$

- Bước 2: Tiếp tuyến có dạng $d: y=f^{\prime}(a)(x-a)+y(a)(*)$.

Vì điểm $A\left(x_A ; y_A\right) \in d \Leftrightarrow y_A=f^{\prime}(a)\left(x_A-a\right)+y(a)$ và giải được $a$.

- Bước 3: Thế $a$ vào(*) ta được tiếp tuyến cần tìm.

Ví dụ minh họa:

Viết phương trình tiếp tuyến $\Delta$ của đồ thị $(C): y=2 x^4-4 x^2-1$ biết tiếp tuyến $\Delta$ đi qua điểm $A(1 ;-3)$.

Lời giải

- Gọi hoành độ tiếp điểm là $x_0$. Suy ra $\left\{\begin{array}{l}y_0=2 x_0{ }^4-4 x_0{ }^2-1 \\ y^{\prime}\left(x_0\right)=8 x_0{ }^3-8 x_0\end{array}\right.$

- Phương trình tiếp tuyến $\Delta$

$y=y^{\prime}\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+y_0 \text { hay } y=\left(8 x_0{ }^3-8 x_0\right)\left(x-x_0\right)+2 x_0{ }^4-4 x_0{ }^2-1 = \left(8 x_0{ }^3-8 x_0\right)\left(x-x_0\right)+2 x_0{ }^4-4 x_0{ }^2-1 .$

Mà $A(1 ;-3) \in \Delta$ nên $\left(8 x_0^3-8 x_0\right)\left(1-x_0\right)+2 x_0{ }^4-4 x_0{ }^2-1=-3 \Leftrightarrow-6 x_0{ }^4+8 x_0{ }^3+4 x_0{ }^2+2=0$

$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x_0=\frac{1}{3} \\x_0=-1 \\x_0=1\end{array}\right.$

- Thế $x_0=-1, x_0=\frac{1}{3}, x_0=1$ vào phương trình tiếp tuyến ta được. $\Delta_1: y=-3, \Delta_2: y=-\frac{64}{27} x-\frac{17}{27}$.

Hy vọng với các kiến thức trọng tâm về đạo hàm ở trên sẽ giúp chúng mình hiểu và giải quyết được các bài toán liên quan tới đạo hàm trong chương trình toán phổ thông nhé.