Cho số phức z thỏa mãn |z-1-2i| =3. Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=|z-4-6i|

Ta có thể giải bài toán này bằng cách sử dụng định lí tam giác trong không gian phức. Định lí tam giác cho rằng: "Đối với ba điểm A, B, C trong không gian phức, ta có |AB| + |BC| ≥ |AC| và bằng nhau khi và chỉ khi A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đó." Áp dụng định lí tam giác vào bài toán này, ta có: |z - 1 - 2i| + |z - 4 - 6| ≥ |(z - 1 - 2i) - (z - 4 - 6)| ⇔ |z - 1 - 2i| + |z - 4 - 6| ≥ |-3 - 2i| ⇔ 3 + |z - 4 - 6| ≥ √13 ⇔ |z - 4 - 6| ≥ √13 - 3 Do đó, giá trị nhỏ nhất của P là √13 - 3. Điểm z tương ứng với giá trị nhỏ nhất này là điểm nằm trên đường thẳng đi qua hai điểm A(1, 2) và B(4, 6) và cách điểm A một khoảng bằng √13 - 3. Ta có thể tìm được điểm này bằng cách xác định phương trình đường thẳng AB và tìm điểm trên đường thẳng đó cách A một khoảng bằng √13 - 3.