cho tam giác ABC vuông tại A. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB. a) Chứng minh rằng CBD là tam giác cân. b) Gọi M là trung điểm của CD, đường thẳng qua D và song song với BC cắt đườn...

a) Ta có AB = AD, nên tam giác ABD là tam giác cân tại A. Do đó, góc CBD bằng góc ABD (cùng chắn cung AD trên đường tròn đường kính BD), và góc ABC bằng góc ABD (cùng chắn cung AB trên đường tròn đường kính AC). Vậy góc CBD bằng góc ABC, tức là tam giác CBD là tam giác cân. b) Ta có BM song song với DE, nên góc BME bằng góc CDE (do cùng chắn cung CD trên đường tròn đường kính BC). Nhưng góc CDE bằng góc CBD (tam giác CBD là tam giác cân), nên góc BME bằng góc CBD. Từ đó suy ra tam giác BME cũng là tam giác cân. Do đó, ta có BE = BM = BC/2 (vì M là trung điểm của CD). Từ đó suy ra BC = 2BE. Vì BM song song với DE, nên tam giác BME và BDC đồng dạng. Từ đó suy ra: BD/BC = BM/BE ⇔ BD/2BE = 1 ⇔ BD = 2BE Kết hợp với BC = 2BE, ta có BD + BC = 4BE > 2BE = DE. Vậy BC + BD > BE. c) Ta có GM là trung điểm của CD, nên GM song song với AB. Từ đó suy ra tam giác GAE và tam giác GCD đồng dạng. Vậy: AG/GC = GE/GD ⇔ AG/(BC/2) = GE/BD ⇔ AG/BC = 2GE/BD Nhân cả hai vế với BC, ta được: AG = 2GE*BC/BD Nhưng ta đã có BD = 2BE và BC = 2BE, nên AG = 4GE. Từ đó suy ra: BC = 6GM (vì GM là trung điểm của CD, nên GM = GD/2 = BC/6).