diện tích của (H)

Để tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường cong và đường thẳng, ta cần tìm điểm cắt giữa chúng. Đầu tiên, ta giải hệ phương trình giữa đường thẳng và đường cong: \begin{cases} y = \sqrt{x} \\ y = x - 2 \end{cases} Thay y của đường cong vào phương trình đường thẳng, ta có: \begin{aligned} \frac{2}{x} &= \frac{2}{\frac{1}{9}(x-2)^2}-\frac{2}{4(x-2)}-\frac{1}{4} \\ \Leftrightarrow 18(x-2)^2 &= x^2(2x-1)(x-4) \end{aligned} Ta thấy rằng $x=0$ không phải là nghiệm của phương trình này, vì nó không nằm trong miền giới hạn của hình phẳng (nằm dưới đường cong). Do đó, ta có thể chia cả hai vế của phương trình cho $(x-2)^2$ để đơn giản hóa: \[18 = x(2x-1)\left(\frac{x-4}{(x-2)^2}\right)\] Để giải phương trình này, ta đặt $t = x-2$, và phương trình trở thành: \[18 = (t+2)(2t+3)\left(\frac{t-2}{t^2}\right)\] \[18t^2 = (t+2)(2t+3)(t-2)\] \[18t^2 = 2t^3 - t^2 - 12t - 12\] \[2t^3 - 19t^2 - 12t - 12 = 0\] Ta thấy rằng $t=0$ không phải là nghiệm của phương trình này, vì nó tương ứng với $x=2$, điểm mà đường cong và đường thẳng cắt nhau. Do đó, ta có thể chia cả hai vế của phương trình cho $t$ để đơn giản hóa: \[2t^2 - 19t - 12 = 0\] \[t = \frac{19 \pm \sqrt{433}}{4}\] Vì $t=x-2$, ta có hai giá trị của $x$ tương ứng với hai giá trị của $t$: \[x_1 = \frac{19 + \sqrt{433}}{4}, \quad x_2 = \frac{19 - \sqrt{433}}{4}\] Ta thấy rằng $x_1 > 4$ và $x_2 < \frac{1}{2}$, do đó miền giới hạn của hình phẳng là $(x_2, x_1)$. Để tính diện tích của hình phẳng này, ta tính tích phân sau: \begin{aligned} S &= \int_{x_2}^{x_1} (\sqrt{x} - (x-2)) dx \\ &= \int_{x_2}^{x_1} (\sqrt{x} - x + 2) dx \\ &= \left[\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{2}x^2 + 2x\right]_{x_2}^{x_1} \\ &= \frac{8}{3} - \frac{1}{2}(x_1^2 - x_2^2) + 2(x_1 - x_2) \\ &= \frac{8}{3} - \frac{1}{2}\left(\frac{433}{16} - \frac{361}{16}\right) + 2\left(\frac{19 + \sqrt{433}}{4} - \frac{19 - \sqrt{433}}{4}\right) \\ &= \frac{16}{3} \end{aligned} Vậy đáp án là $\boxed{\textbf{(B) }\frac{16}{3}}$.