có bao nhiêu số nguyên x thỏa mãn log_3((x^ 2 -9)/125) <= log_5((x ^ 2 - 9)/27)

Bắt đầu bằng cách giải phương trình trong logarit: log_3((x^2 - 9)/125) = log_5((x^2 - 9)/27) Áp dụng định lý logarit tổng quát, ta có: log_3((x^2 - 9)/125) = (log_3(5))/(log_3(5)) * log_5((x^2 - 9)/27) => log_3((x^2 - 9)/125) = log_3((x^2 - 9)^(log_5(3)/log_5(5))/27^(log_5(3)/log_5(5))) Do hai bên bằng nhau nên: (x^2 - 9)/125 = (x^2 - 9)^(log_5(3)/log_5(5))/27^(log_5(3)/log_5(5)) Đặt a = x^2 - 9, ta có: a/125 = a^(log_5(3)/log_5(5))/27^(log_5(3)/log_5(5)) Simplifying the right-hand side: a/125 = a^(log_5(3)/log_5(27)) Taking both sides to the power of loga_5(27)/loga_5(3): (a/125)^(loga_5(27)/loga_5(3)) = a Substituting back in for a: (x^2 - 9)/125 = x^2 - 9 x^2 - 9 - 125(x^2 - 9) = 0 -124x^2 + 1116 = 0 x^2 = 9 x = ±3 Vì logarit chỉ xác định khi giá trị trong ngoặc lớn hơn 0, nên ta chỉ xét x = 3. Kiểm tra lại bằng cách thay x = 3 vào phương trình ban đầu: log_3((3^2 - 9)/125) = log_5((3^2 - 9)/27) log_3(6/125) = log_5(6/27) log_3(6) - log_3(125) = log_5(6) - log_5(27) log_3(2) - log_3(5^3) = log_5(2) - log_5(3^3) log_3(2) - 3log_3(5) = log_5(2) - 3log_5(3) Áp dụng định lý chuyển đổi cơ số: log_3(2)/log_3(5) - 3 = log_5(2)/log_5(3) - 3 log_5(2)/log_5(3) - log_3(2)/log_3(5) = 3 Áp dụng định lý logarit tổng quát: log_3(2)/log_5(2) = log_3(3)/log_5(3) log_3(2)/log_5(3) = log_3(3)/log_5(5) Substituting in: log_3(3)/log_5(3) - log_3(2)/log_5(3) = 3 log_3(3/2)/log_5(3) = 3 3/2 = 3^(log_5(3)) 3/2 = 5^(log_5(3)/log_5(3)) 3/2 = 5^1 3/2 ≠ 5 Vậy, phương trình ban đầu không có nghiệm.