Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , gọi(C) là đường tròn đi qua điểm A(0;1) và tiếp súc với đường thẳng h: 2x-4y-1=0 . Viết phương trình đường tròn (C) , biết (C) có tâm thuộng đường thẳng d: x+y+1=0

b) Để viết phương trình đường tròn (C), cần xác định tâm và bán kính của đường tròn.

Gọi (O) là tâm của đường tròn (C), vì (C) tiếp xúc với đường thẳng 4:3r - 4v - 1 = 0, nên đường thẳng này là tiếp tuyến của đường tròn (C) tại điểm tiếp xúc A(1, 0). Điểm tiếp xúc A cũng nằm trên đường thẳng dx + y + 1 = 0.

Đường thẳng dx + y + 1 = 0 và đường thẳng 4:3r - 4v - 1 = 0 có giao điểm là điểm A(1, 0). Vì (C") có tâm thuộc đường thẳng dx + y + 1 = 0, nên tâm của (C) cũng phải nằm trên đường thẳng này.

Do đó, tâm của đường tròn (C) là điểm cắt giữa đường thẳng dx + y + 1 = 0 và đường thẳng đi qua điểm A(1, 0) có hướng vector pháp tuyến là (4, 3). Để tìm tâm, ta giải hệ phương trình:

dx + y + 1 = 0 (x - 1, y - 0) · (4, 3) = 0

x + y + 1 = 0 4(x - 1) + 3y = 0

Suy ra: x + y + 1 = 0 ...(1) 4x - 4 + 3y = 0 ...(2)

Từ (1), ta có x = -y - 1. Thay vào (2), ta có: 4(-y - 1) - 4 + 3y = 0 -4y - 4 - 4 + 3y = 0 -y - 8 = 0 y = -8

Khi đó, x = -y - 1 = 7.

Vậy, tâm của đường tròn (C) là điểm (-8, 7).

Tiếp theo, để tìm bán kính của đường tròn (C), ta cần tìm khoảng cách từ tâm (O) đến đường thẳng 4:3r - 4v - 1 = 0.

Khoảng cách từ điểm (x0, y0) đến đường thẳng Ax + By + C = 0 được tính bằng công thức:

d = |Ax0 + By0 + C| / sqrt(A^2 + B^2)

Ở đây, A = 4, B = 3, C = -1, x0 = -8 và y0 = 7. Thay vào công thức, ta có:

d = |4(-8) + 3(7) - 1| / sqrt(4^2 + 3^2) = |-32 + 21 - 1| / sqrt(16 + 9) = |-12| / sqrt(25) = 12 / 5

Vậy, bán kính của đường tròn (C) là 12/5.

Phương trình đường tròn (C) có tâm (-8, 7) và bán kính 12/5 là:

(x + 8)^2 + (y - 7)^2 = (12/5)^2