Giúp mình với! Câu 3. Lập phương trình đường tròn đi qua ba điểm $A(-1;1),~B(0;2),~C(0;-2)$,Câu 4. Trên giá sách có 4 quyển sách Toán, 3 quyển sách Vật lý, 2 quyển sách Hoá học, biết rằng,các quyển sách là khác nhau. Lấy ngẫu nhiên 3 quyển sách trên kệ sách đó. Tính xác suất để,3 quyển sách được lấy ra có đủ 3 môn.,Câu 5. Một nhóm học sinh gồm 15 nam và 5 nữ. Chọn ngẫu nhiên 5 người từ nhóm này để lập thành,một đội cờ đỏ. Tính xác suất để đội cờ đỏ có 1 đội trưởng nam, 1 đội phó nam và có ít nhất 1 nữ.,Câu 6**. Trong một khu vực bằng phẳng ta lấy hai xa lộ vuông góc với nhau làm hai trục tọa độ và,mỗi đơn vị độ dài trên trục tương ứng với 1 km. Cho biết với hệ trục vừa chọn thì,một trạm viễn thông T có tọa độ (2;3). Một người đang gọi điện thoại di động trên chiếc xe khách,chạy trên đoạn cao tốc có dạng một đường thẳng $\Delta$ có phương trình $6x+8y-5=0.$,Tính khoảng cách ngắn nhất giữa người đó và trạm viễn thông T .( nếu khó có thể bỏ trống)

Question

Accepted Answer

Câu 3.
Để lập phương trình đường tròn đi qua ba điểm $A(-1;1)$, $B(0;2)$, và $C(0;-2)$, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm tâm và bán kính của đường tròn:
   - Tâm của đường tròn là giao điểm của các đường trung trực của các đoạn thẳng nối các đỉnh của tam giác $ABC$.

2. Tìm phương trình đường trung trực của đoạn thẳng $AB$:
   - Trung điểm của $AB$ là:
     $$
     M_{AB} = \left( \frac{-1 + 0}{2}, \frac{1 + 2}{2} \right) = \left( -\frac{1}{2}, \frac{3}{2} \right)
     $$
   - Vector pháp tuyến của $AB$ là:
     $$
     \overrightarrow{AB} = (0 - (-1), 2 - 1) = (1, 1)
     $$
   - Phương trình đường trung trực của $AB$ là:
     $$
     1(x + \frac{1}{2}) + 1(y - \frac{3}{2}) = 0 \implies x + y - 1 = 0
     $$

3. Tìm phương trình đường trung trực của đoạn thẳng $BC$:
   - Trung điểm của $BC$ là:
     $$
     M_{BC} = \left( \frac{0 + 0}{2}, \frac{2 + (-2)}{2} \right) = (0, 0)
     $$
   - Vector pháp tuyến của $BC$ là:
     $$
     \overrightarrow{BC} = (0 - 0, -2 - 2) = (0, -4)
     $$
   - Phương trình đường trung trực của $BC$ là:
     $$
     0(x - 0) + (-4)(y - 0) = 0 \implies y = 0
     $$

4. Tìm giao điểm của hai đường trung trực:
   - Giao điểm của $x + y - 1 = 0$ và $y = 0$ là:
     $$
     x + 0 - 1 = 0 \implies x = 1
     $$
   - Vậy tâm của đường tròn là $O(1, 0)$.

5. Tính bán kính của đường tròn:
   - Bán kính $R$ là khoảng cách từ tâm $O(1, 0)$ đến bất kỳ điểm nào trên đường tròn, ví dụ điểm $A(-1, 1)$:
     $$
     R = \sqrt{(1 - (-1))^2 + (0 - 1)^2} = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}
     $$

6. Viết phương trình đường tròn:
   - Phương trình đường tròn có tâm $O(1, 0)$ và bán kính $R = \sqrt{5}$ là:
     $$
     (x - 1)^2 + y^2 = 5
     $$

Vậy phương trình đường tròn đi qua ba điểm $A(-1;1)$, $B(0;2)$, và $C(0;-2)$ là:
$$
(x - 1)^2 + y^2 = 5
$$

Câu 4.
Để tính xác suất để 3 quyển sách được lấy ra có đủ 3 môn, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm tổng số cách chọn 3 quyển sách từ 9 quyển sách:
   Số cách chọn 3 quyển sách từ 9 quyển sách là:
   $$
   C_9^3 = \frac{9!}{3!(9-3)!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84
   $$

2. Tìm số cách chọn 3 quyển sách sao cho mỗi môn có 1 quyển:
   - Chọn 1 quyển sách Toán từ 4 quyển sách Toán: $C_4^1 = 4$
   - Chọn 1 quyển sách Vật lý từ 3 quyển sách Vật lý: $C_3^1 = 3$
   - Chọn 1 quyển sách Hóa học từ 2 quyển sách Hóa học: $C_2^1 = 2$

Số cách chọn 3 quyển sách sao cho mỗi môn có 1 quyển là:
   $$
   4 \times 3 \times 2 = 24
   $$

3. Tính xác suất:
   Xác suất để 3 quyển sách được lấy ra có đủ 3 môn là:
   $$
   P = \frac{\text{Số cách chọn 3 quyển sách sao cho mỗi môn có 1 quyển}}{\text{Tổng số cách chọn 3 quyển sách từ 9 quyển sách}} = \frac{24}{84} = \frac{2}{7}
   $$

Vậy xác suất để 3 quyển sách được lấy ra có đủ 3 môn là $\frac{2}{7}$.

Câu 5.
Câu 6. Trong một khu vực bằng phẳng ta lấy hai xa lộ vuông góc với nhau làm hai trục tọa độ và mỗi đơn vị độ dài trên trục tương ứng với 1 km. Cho biết với hệ trục vừa chọn thì một trạm viễn thông T có tọa độ (2;3). Một người đang gọi điện thoại di động trên chiếc xe khách chạy trên đoạn cao tốc có dạng một đường thẳng $\Delta$ có phương trình $6x+8y-5=0.$ Tính khoảng cách ngắn nhất giữa người đó và trạm viễn thông T .( nếu khó có thể bỏ trống).

Để tính khoảng cách ngắn nhất giữa điểm T và đường thẳng $\Delta$, ta sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.

Công thức khoảng cách từ điểm $(x_1, y_1)$ đến đường thẳng $ax + by + c = 0$ là:
$$ d = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} $$

Trong bài này, điểm T có tọa độ $(2, 3)$ và đường thẳng $\Delta$ có phương trình $6x + 8y - 5 = 0$. Ta thay các giá trị vào công thức:

$$ d = \frac{|6 \cdot 2 + 8 \cdot 3 - 5|}{\sqrt{6^2 + 8^2}} $$
$$ d = \frac{|12 + 24 - 5|}{\sqrt{36 + 64}} $$
$$ d = \frac{|31|}{\sqrt{100}} $$
$$ d = \frac{31}{10} $$
$$ d = 3.1 \text{ km} $$

Vậy khoảng cách ngắn nhất giữa người đó và trạm viễn thông T là 3.1 km.