Cho tôi đáp án câu 1 âu 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba đường thẳng $d_1:~2x+y-8=0,~d_2;x-3y-11=0,$,$d_3:2x+(2m+3)y+(m^2-4)=0.$ Tìm tổng tất cả các giá trị của tham số m để 3 đường thẳng đồng,quy tại một điểm.,Câu 2: Cho tam giác ABC có $B(3;-2).$ Hai đường cao có phương trình $4x-3y+1=0$ và $5x+2y-7=0.$,Lập phương trình các cạnh còn lại của tam giác.

Question

Accepted Answer

Để ba đường thẳng $d_1$, $d_2$, và $d_3$ đồng quy tại một điểm, giao điểm của $d_1$ và $d_2$ phải nằm trên $d_3$.

Bước 1: Tìm giao điểm của $d_1$ và $d_2$:
- Từ phương trình $d_1: 2x + y - 8 = 0$, ta có $y = 8 - 2x$.
- Thay vào phương trình $d_2: x - 3y - 11 = 0$, ta có:
$$ x - 3(8 - 2x) - 11 = 0 $$
$$ x - 24 + 6x - 11 = 0 $$
$$ 7x - 35 = 0 $$
$$ 7x = 35 $$
$$ x = 5 $$

Thay $x = 5$ vào $y = 8 - 2x$:
$$ y = 8 - 2(5) = 8 - 10 = -2 $$

Vậy giao điểm của $d_1$ và $d_2$ là $(5, -2)$.

Bước 2: Thay giao điểm $(5, -2)$ vào phương trình $d_3$:
$$ 2(5) + (2m + 3)(-2) + (m^2 - 4) = 0 $$
$$ 10 - 2(2m + 3) + m^2 - 4 = 0 $$
$$ 10 - 4m - 6 + m^2 - 4 = 0 $$
$$ m^2 - 4m = 0 $$
$$ m(m - 4) = 0 $$

Bước 3: Giải phương trình $m(m - 4) = 0$:
$$ m = 0 \quad \text{hoặc} \quad m = 4 $$

Tổng tất cả các giá trị của tham số $m$ là:
$$ 0 + 4 = 4 $$

Đáp số: 4

Câu 2:
Để lập phương trình các cạnh còn lại của tam giác ABC, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm giao điểm của hai đường cao:
   - Đường cao từ đỉnh A: $4x - 3y + 1 = 0$
   - Đường cao từ đỉnh C: $5x + 2y - 7 = 0$

Ta giải hệ phương trình:
   $$
   \begin{cases}
   4x - 3y + 1 = 0 \
   5x + 2y - 7 = 0
   \end{cases}
   $$

Nhân phương trình thứ nhất với 2 và nhân phương trình thứ hai với 3:
   $$
   \begin{cases}
   8x - 6y + 2 = 0 \
   15x + 6y - 21 = 0
   \end{cases}
   $$

Cộng hai phương trình:
   $$
   8x + 15x + 2 - 21 = 0 \implies 23x - 19 = 0 \implies x = \frac{19}{23}
   $$

Thay $x = \frac{19}{23}$ vào phương trình $4x - 3y + 1 = 0$:
   $$
   4 \left(\frac{19}{23}\right) - 3y + 1 = 0 \implies \frac{76}{23} - 3y + 1 = 0 \implies \frac{76}{23} + \frac{23}{23} = 3y \implies \frac{99}{23} = 3y \implies y = \frac{33}{23}
   $$

Vậy giao điểm của hai đường cao là $H\left(\frac{19}{23}, \frac{33}{23}\right)$.

2. Tìm phương trình các cạnh còn lại:
   - Cạnh AB đi qua B(3, -2) và vuông góc với đường cao từ C ($5x + 2y - 7 = 0$).
     - Phương trình đường thẳng vuông góc với $5x + 2y - 7 = 0$ có dạng $2x - 5y + c = 0$.
     - Thay tọa độ B(3, -2) vào phương trình:
       $$
       2(3) - 5(-2) + c = 0 \implies 6 + 10 + c = 0 \implies c = -16
       $$
     - Vậy phương trình cạnh AB là $2x - 5y - 16 = 0$.

- Cạnh BC đi qua B(3, -2) và vuông góc với đường cao từ A ($4x - 3y + 1 = 0$).
     - Phương trình đường thẳng vuông góc với $4x - 3y + 1 = 0$ có dạng $3x + 4y + d = 0$.
     - Thay tọa độ B(3, -2) vào phương trình:
       $$
       3(3) + 4(-2) + d = 0 \implies 9 - 8 + d = 0 \implies d = -1
       $$
     - Vậy phương trình cạnh BC là $3x + 4y - 1 = 0$.

3. Tìm phương trình cạnh AC:
   - Cạnh AC đi qua H$\left(\frac{19}{23}, \frac{33}{23}\right)$ và vuông góc với đường cao từ B ($2x - 5y - 16 = 0$).
     - Phương trình đường thẳng vuông góc với $2x - 5y - 16 = 0$ có dạng $5x + 2y + e = 0$.
     - Thay tọa độ H$\left(\frac{19}{23}, \frac{33}{23}\right)$ vào phương trình:
       $$
       5 \left(\frac{19}{23}\right) + 2 \left(\frac{33}{23}\right) + e = 0 \implies \frac{95}{23} + \frac{66}{23} + e = 0 \implies \frac{161}{23} + e = 0 \implies e = -\frac{161}{23}
       $$
     - Vậy phương trình cạnh AC là $5x + 2y - \frac{161}{23} = 0$.

Kết luận:
Phương trình các cạnh còn lại của tam giác ABC là:
- Cạnh AB: $2x - 5y - 16 = 0$
- Cạnh BC: $3x + 4y - 1 = 0$
- Cạnh AC: $5x + 2y - \frac{161}{23} = 0$