Cho lăng trụ đứng ABC. A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a. Đường thẳng A'C tạo với mặt phẳng (BCC'B') một góc 30 độ. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho

Để tính thể tích khối lăng trụ, ta cần biết diện tích đáy và chiều cao của nó. Ta có: - Diện tích đáy: S = (a^2 * sqrt(3))/4 (vì đáy là tam giác đều) - Chiều cao của lăng trụ: h = AA', trong đó A là trung điểm của BB' và C'C. Ta sẽ tính AA' bằng cách sử dụng định lí cosin trong tam giác A'AC: AA'^2 = A'C^2 + AC^2 - 2*A'C*AC*cos(30°) = a^2 + a^2 - 2*a*a*cos(30°) (vì A'C = AC = a) = 3a^2 - 2a^2*cos(30°) = 3a^2 - a^2*sqrt(3) Vậy h = AA' = sqrt(3a^2 - a^2*sqrt(3)). Do đó, thể tích khối lăng trụ là V = Sh = (a^2 * sqrt(3))/4 * sqrt(3a^2 - a^2*sqrt(3)) = a^3 * sqrt(3)/4. Vậy thể tích khối lăng trụ đã cho là a^3 * sqrt(3)/4.