Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 2AD = 2a. SA vuông góc với đáy, góc giữa cạnh bên SB và đáy là 45o . Bán kính mặt cầu tâm A cắt mặt phẳng (SBD) theo một đường tròn có bán kính...
ADS
0
Trả lời câu hỏi của baongoc24
Câu trả lời phải chính xác, đầy đủ dựa trên kiến thức xác thực:
✔ Đối với câu hỏi trắc nghiệm: Đưa đáp án lựa chọn + giải thích lý do chọn đáp án.
✔ Đối với câu hỏi tự luận: Đưa lời giải và đáp án cho câu hỏi.
✔ Đối với câu hỏi trả lời ngắn: Đưa ra đáp án + giải thích lý do.
✔ Chấp nhận sử dụng ảnh do thành viên viết tay, ảnh cần rõ nét, không bị mờ, vỡ ảnh.
Sử dụng ngôn ngữ rõ ràng, dễ hiểu.
Tránh đưa ra các ý kiến cá nhân mang tính chất chủ quan.
Nếu sử dụng thông tin từ nguồn khác, phải trích dẫn nguồn đầy đủ và chính xác.
Tuyệt đối không được sao chép các thông tin từ các trang khác, từ AI hoặc chatGPT.
Trợ lý học tập AI - Câu trả lời này chỉ mang tính tham khảo
Để giải bài toán này, ta có thể sử dụng định lí Pythagoras và tính diện tích của tam giác vuông.
Gọi M là trung điểm của BD. Ta có AM = a (vì A là tâm mặt cầu nên AM là bán kính của mặt cầu). Khi đó, ta có:
- Tam giác SAB vuông tại A, SB = SA√2 (theo đề bài).
- Tam giác SBD vuông tại M, SB = MD (do BM là đường cao của tam giác vuông SBD).
- Tam giác ABM vuông tại M, AM = a và AB = 2a, nên BM = a√5 (theo định lí Pythagoras).
Áp dụng công thức diện tích tam giác, ta có:
- Diện tích tam giác SAB: S(SAB) = 1/2 × SA × SB = 1/2 × SA × SA√2 = 1/2 × SA^2 × √2.
- Diện tích tam giác ABM: S(ABM) = 1/2 × AB × BM = 1/2 × 2a × a√5 = a^2√5.
- Diện tích tam giác SBD: S(SBD) = 1/2 × SB × MD = 1/2 × SB × BM/√2 = 1/2 × SB × a√5/√2 = 1/2 × SB × a√10.
Vì A là tâm mặt cầu nên đường thẳng AM cắt mặt phẳng (SBD) tại N là trung điểm của SB. Khi đó, ta có:
- Diện tích tam giác SAN: S(SAN) = 1/2 × SA × AN = 1/2 × SA × SB/2 = 1/4 × SA^2√2.
- Diện tích tam giác ABN: S(ABN) = 1/2 × AB × BN = 1/2 × 2a × BM/2 = a^2√5/2.
- Diện tích tam giác SBN: S(SBN) = 1/2 × SB × BN = 1/2 × SB × SB/2√2 = 1/4 × SB^2.
Tổng diện tích các tam giác SAN, ABN và SBN bằng diện tích của tam giác SBD, nên ta có:
1/4 × SA^2√2 + a^2√5/2 + 1/4 × SB^2 = 1/2 × SB × a√10
Thay SB = SA√2 vào phương trình trên, ta được:
1/4 × SA^2√2 + a^2√5/2 + 1/4 × SA^2×2 = 1/2 × SA√2 × a√10
Simplifying:
SA^2/4 × (√2 + 2) = a^2√5/2 + SA^2/4 × √2
SA^2/4 × (√2 + 2 - √2) = a^2√5/2
SA^2 = 8a^2/3
Vậy bán kính mặt cầu tâm A cắt mặt phẳng (SBD) theo một đường tròn có bán kính bằng a là:
r = AM = a√(8/3) ≈ 1.632a.
Ta có mặt cầu S(A;r) cắt mặt phẳng (SBD) theo một đường tròn có bán kính bằng a khi và chỉ khi Hạ AK ⊥ BD tại K, hạ AH ⊥ SK tại H.Do BD ⊥ AK và BD ⊥ SA nên BD ⊥ (SAK), suy ra BD ⊥ AH.Mặt khác AH ⊥ SK nên ta có AH ⊥ (SBDB) hay d(A; (SBD)) = AH.Xét tam giác vuông SAK và tam giác vuông ABD ta có:Khi đó ta có:
FQA.vn Nền tảng kết nối cộng đồng hỗ trợ giải bài tập học sinh trong khối K12. Sản phẩm được phát triển bởi CÔNG TY TNHH CÔNG NGHỆ GIA ĐÌNH (FTECH CO., LTD)
Điện thoại: 1900636019
Email: info@fqa.vn
Địa chỉ: Số 21 Ngõ Giếng, Phố Đông Các, Phường Ô Chợ Dừa, Quận Đống Đa, Thành phố Hà Nội, Việt Nam.