chi tiết và đầy đủ

a) Để rút gọn A, ta cần tìm được tổng chung của các phân số trong biểu thức. Ta có: B = [(x-1)/(x(x-2))] + [2/(x-2)] : [x/(x(x-2)) - x/(x-2)] = [(x-1)/(x(x-2))] + [2/(x-2)] : [-2/(x(x-2))] = [(x-1)/(x(x-2))] - [1/x] + 1 = [(x-1)x - (x-2) - x(x-2)] / [x(x-2)] = (-x^3 + 3x^2 - 2x + 2) / [x(x-2)] Vậy A = (x-2) / (-x^3 + 3x^2 - 2x + 2) b) Ta có |B| - 2x = 5 <=> sqrt(B^2) - 2x = 5 <=> B^2 - 4x^2 + 20x - 25 = 0 <=> (-x^3 + 3x^2 - 2x + 2)^2 - 4x^2 + 20x - 25 = 0 Đây là phương trình bậc 6, không thể giải bằng phương pháp giải tích đơn giản. c) Ta có (2-x).B = (2-x) * [(x-1)/(x(x-2))] + (2-x) * [2/(x-2)] = [(2-x)(x-1)/(x(x-2))] + [2(2-x)/(x-2)] = [(x-2)(x-1)/(x(x-2))] + [4-2x)/(x-2)] = (x-1)/x - 2/(x-2) + 4/(x-2) - x/(x(x-2)) = (-x^3 + 3x^2 - 2x + 2 - 2x + 4x - x^2) / [x(x-2)] = (-x^3 + 2x^2 + 2x + 2) / [x(x-2)] Vậy GTNN của (2-x).B là (-x^3 + 2x^2 + 2x + 2) / [x(x-2)] d) Để B là nguyên âm lớn nhất, ta cần tìm giá trị của x sao cho B đạt giá trị nhỏ nhất. Ta có: B' = [-3x^2 + 6x - 2] / [x^2(x-2)^2] Để B' = 0, ta có phương trình: -3x^2 + 6x - 2 = 0 Giải phương trình này ta được x = (3 - sqrt(3))/3 hoặc x = (3 + sqrt(3))/3 Ta kiểm tra dấu của B trên các khoảng giá trị sau: - Với x < 0, ta có B < 0 vì tử số và mẫu số đều âm. - Với 0 < x < 1, ta có B > 0 vì tử số và mẫu số đều âm, nhưng tử số lớn hơn mẫu số. - Với 1 < x < (3 - sqrt(3))/3, ta có B < 0 vì tử số và mẫu số đều dương, nhưng tử số nhỏ hơn mẫu số. - Với (3 - sqrt(3))/3 < x < (3 + sqrt(3))/3, ta có B > 0 vì tử số và mẫu số đều dương, nhưng tử số lớn hơn mẫu số. - Với (3 + sqrt(3))/3 < x < 2, ta có B < 0 vì tử số và mẫu số đều dương, nhưng tử số nhỏ hơn mẫu số. - Với x > 2, ta có B > 0 vì tử số và mẫu số đều dương. Vậy để B là nguyên âm lớn nhất, ta cần chọn x = (3 + sqrt(3))/3 e) Ta có |B| + 3 < 2x - 1 <=> sqrt(B^2) + 4 < 4x <=> B^2 + 8 + 16sqrt(B^2) < 16x^2 <=> (-x^3 + 3x^2 - 2x + 2)^2 + 8 + 16|(-x^3 + 3x^2 - 2x + 2)| < 16x^2 Đây là phương trình bậc 6, không thể giải bằng phương pháp giải tích đơn giản.