Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’, cạnh đáy bằng a. Gọi N, I lần lượt là trung điểm của AB, BC; góc giữa hai mặt phẳng (C’AI) và (ABC) bằng 60° . Tính theo a thể tích khối chóp NAC’I?

Để tính thể tích khối chóp NAC'I, ta cần biết chiều cao của khối chóp và diện tích đáy của khối chóp. Đầu tiên, ta tính chiều cao của khối chóp. Gọi M là trung điểm của AC. Ta có: AM = \(\frac{1}{2}\)AC = \(\frac{1}{2}\)a Vì góc giữa hai mặt phẳng (C'AI) và (ABC) bằng 60°, nên ta có: \(\angle\)C'AM = 60° Do đó, tam giác C'AM là tam giác đều. Vậy ta có: CM = AM = \(\frac{1}{2}\)a Tiếp theo, ta tính diện tích đáy của khối chóp. Đáy của khối chóp là tam giác ABC, và tam giác này là tam giác đều, nên ta có: Diện tích đáy = \(\frac{\sqrt{3}}{4}\)a^2 Cuối cùng, ta tính thể tích khối chóp bằng công thức: Thể tích = \(\frac{1}{3}\) x Diện tích đáy x Chiều cao Thay các giá trị đã tính được vào công thức, ta có: Thể tích = \(\frac{1}{3}\) x \(\frac{\sqrt{3}}{4}\)a^2 x \(\frac{1}{2}\)a = \(\frac{\sqrt{3}}{24}\)a^3 Vậy thể tích khối chóp NAC'I là \(\frac{\sqrt{3}}{24}\)a^3.