Câu 24: Tổng các số a + b + c thuộc khoảng nào sau đây (0; 2).
Dựa vào bảng biến thiên, ta có thể suy ra các điều kiện sau:
- Hàm số f(x) tăng trên khoảng (-∞; a) và (c; +∞).
- Hàm số f(x) giảm trên khoảng (a; b) và (b; c).
Để a + b + c thuộc khoảng (0; 2), ta cần xét các trường hợp sau:
1. Trường hợp a, b, c đều thuộc khoảng (0; 2):
- Khi đó, f(x) tăng trên khoảng (-∞; a), giảm trên khoảng (a; b), tăng trên khoảng (b; c), và giảm trên khoảng (c; +∞).
- Vì f(x) tăng trên khoảng (-∞; a) và (c; +∞), nên a và c phải lớn hơn 2.
- Vì f(x) giảm trên khoảng (a; b) và (b; c), nên b phải nằm trong khoảng (0; 2).
- Như vậy, không có trường hợp a, b, c đều thuộc khoảng (0; 2).
2. Trường hợp a, b, c đều thuộc khoảng (-2; 0):
- Khi đó, f(x) giảm trên khoảng (-∞; a), tăng trên khoảng (a; b), giảm trên khoảng (b; c), và tăng trên khoảng (c; +∞).
- Vì f(x) giảm trên khoảng (-∞; a) và (c; +∞), nên a và c phải nhỏ hơn 0.
- Vì f(x) tăng trên khoảng (a; b) và (b; c), nên b phải nằm trong khoảng (-2; 0).
- Như vậy, không có trường hợp a, b, c đều thuộc khoảng (-2; 0).
3. Trường hợp a thuộc khoảng (-2; 0), b thuộc khoảng (0; 2), và c thuộc khoảng (-2; 0):
- Khi đó, f(x) giảm trên khoảng (-∞; a), tăng trên khoảng (a; b), giảm trên khoảng (b; c), và tăng trên khoảng (c; +∞).
- Vì f(x) giảm trên khoảng (-∞; a) và (c; +∞), nên a và c phải nhỏ hơn 0.
- Vì f(x) tăng trên khoảng (a; b), nên b phải nằm trong khoảng (0; 2).
- Như vậy, a thuộc khoảng (-2; 0), b thuộc khoảng (0; 2), và c thuộc khoảng (-2; 0) là một trường hợp thỏa mãn.
Vậy, tổng các số a + b + c thuộc khoảng (-2; 0).
Câu 25: Hàm số y = 3f(-x+2) + x^3 + 3x^2 - 9x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây (-∞; -2), (0; 2), (2; +∞), (-2; 1).
Dựa vào bảng xét dấu đạo hàm, ta có thể suy ra các điều kiện sau:
- Hàm số f(x) tăng trên khoảng (-∞; a) và (c; +∞).
- Hàm số f(x) giảm trên khoảng (a; b) và (b; c).
Để hàm số y = 3f(-x+2) + x^3 + 3x^2 - 9x nghịch biến trên khoảng (-∞; -2), ta cần xét các trường hợp sau:
1. Trường hợp a, b, c đều thuộc khoảng (-∞; -2):
- Khi đó, f(x) tăng trên khoảng (-∞; a), giảm trên khoảng (a; b), tăng trên khoảng (b; c), và giảm trên khoảng (c; +∞).
- Vì f(x) tăng trên khoảng (-∞; a) và (c; +∞), nên a và c phải nhỏ hơn -2.
- Vì f(x) giảm trên khoảng (a; b) và (b; c), nên b phải nằm trong khoảng (-∞; -2).
- Như vậy, không có trường hợp a, b, c đều thuộc khoảng (-∞; -2).
2. Trường hợp a, b, c đều thuộc khoảng (0; 2):
- Khi đó, f(x) tăng trên khoảng (-∞; a), giảm trên khoảng (a; b), tăng trên khoảng (b; c), và giảm trên khoảng (c; +∞).
- Vì f(x) tăng trên khoảng (-∞; a) và (c; +∞), nên a và c phải lớn hơn 2.
- Vì f(x) giảm trên khoảng (a; b) và (b; c), nên b phải nằm trong khoảng (0; 2).
- Như vậy, không có trường hợp a, b, c đều thuộc khoảng (0; 2).
3. Trường hợp a thuộc khoảng (-∞; -2), b thuộc khoảng (0; 2), và c thuộc khoảng (-2; 1):
- Khi đó, f(x) tăng trên khoảng (-∞; a), giảm trên khoảng (a; b), tăng trên khoảng (b; c), và giảm trên khoảng (c; +∞).
- Vì f(x) tăng trên khoảng (-∞; a) và (c; +∞), nên a và c phải nhỏ hơn -2.
- Vì f(x) giảm trên khoảng (a; b), nên b phải nằm trong khoảng (0; 2).
- Như vậy, a thuộc khoảng (-∞; -2), b thuộc khoảng (0; 2), và c thuộc khoảng (-2; 1) là một trường hợp thỏa mãn.
Vậy, hàm số y = 3f(-x+2) + x^3 + 3x^2 - 9x nghịch biến trên khoảng (-∞; -2).