lập bảng biến thiên qua hàm số trên

Để lập bảng biến thiên của hàm số \( y = 2^{x^2 - 3x + \frac{13}{4}} \), ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định hàm số cơ sở Hàm số cơ sở là \( f(x) = x^2 - 3x + \frac{13}{4} \). Bước 2: Tìm đạo hàm của hàm số cơ sở Ta tính đạo hàm của \( f(x) \): \[ f'(x) = 2x - 3 \] Bước 3: Tìm điểm cực trị Đặt \( f'(x) = 0 \) để tìm điểm cực trị: \[ 2x - 3 = 0 \] \[ x = \frac{3}{2} \] Bước 4: Xác định khoảng tăng giảm của hàm số cơ sở - Khi \( x < \frac{3}{2} \), \( f'(x) < 0 \) nên hàm số \( f(x) \) giảm. - Khi \( x > \frac{3}{2} \), \( f'(x) > 0 \) nên hàm số \( f(x) \) tăng. Bước 5: Tính giá trị của hàm số cơ sở tại điểm cực trị \[ f\left(\frac{3}{2}\right) = \left(\frac{3}{2}\right)^2 - 3\left(\frac{3}{2}\right) + \frac{13}{4} \] \[ = \frac{9}{4} - \frac{9}{2} + \frac{13}{4} \] \[ = \frac{9}{4} - \frac{18}{4} + \frac{13}{4} \] \[ = \frac{4}{4} \] \[ = 1 \] Bước 6: Lập bảng biến thiên của hàm số cơ sở | \( x \) | \( -\infty \) | \( \frac{3}{2} \) | \( +\infty \) | |------------------|----------------|---------------------|----------------| | \( f'(x) \) | \( - \) | \( 0 \) | \( + \) | | \( f(x) \) | \( +\infty \) | \( 1 \) | \( +\infty \) | Bước 7: Xác định hàm số \( y = 2^{f(x)} \) Do \( f(x) \) có giá trị nhỏ nhất là 1 tại \( x = \frac{3}{2} \), ta có: \[ y = 2^{f(x)} \] - Khi \( x \to -\infty \) hoặc \( x \to +\infty \), \( f(x) \to +\infty \) nên \( y \to +\infty \). - Tại \( x = \frac{3}{2} \), \( f(x) = 1 \) nên \( y = 2^1 = 2 \). Bước 8: Lập bảng biến thiên của hàm số \( y = 2^{x^2 - 3x + \frac{13}{4}} \) | \( x \) | \( -\infty \) | \( \frac{3}{2} \) | \( +\infty \) | |------------------|----------------|---------------------|----------------| | \( f(x) \) | \( +\infty \) | \( 1 \) | \( +\infty \) | | \( y = 2^{f(x)} \) | \( +\infty \) | \( 2 \) | \( +\infty \) | Như vậy, hàm số \( y = 2^{x^2 - 3x + \frac{13}{4}} \) đạt giá trị nhỏ nhất là 2 tại \( x = \frac{3}{2} \). Câu 4: Hàm số y = 2 là một hàm hằng, tức là giá trị của nó không thay đổi theo x. Do đó, đạo hàm của hàm số này sẽ bằng 0 tại mọi điểm trong miền xác định của nó. Ta có: \[ y' = 0 \] Để kiểm tra tính đơn điệu của hàm số trên khoảng (-1; 0), ta xét dấu của đạo hàm y' trên khoảng này. Vì y' = 0 tại mọi điểm, nên đạo hàm không đổi dấu trên khoảng (-1; 0). Do đó, hàm số y = 2 không tăng cũng không giảm trên khoảng (-1; 0), nghĩa là hàm số không nghịch biến trên khoảng (-1; 0). Vậy khẳng định "Hàm số nghịch biến trên khoảng (-1; 0)" là sai.