Cho tam giác ABC có A( 1;2), B( -3;-1) và C ( 3; -4). Tìm điều kiện của tham số m để M ( m; ( m-5)/3 ) nằm bên trong tam giác ABC

Để điểm M (m, (m-5)/3) nằm bên trong tam giác ABC, ta cần kiểm tra xem điểm M có nằm trong cùng một nửa mặt phẳng với tam giác ABC hay không. Để kiểm tra điều này, ta sử dụng định lý hình học rằng một điểm nằm bên trong tam giác ABC nếu và chỉ nếu các tích vô hướng của các vector AB, BC và CA có cùng dấu. Với tam giác ABC có A(1,2), B(-3,-1) và C(3,-4), ta có các vector AB, BC và CA lần lượt là: AB = B - A = (-3, -1) - (1, 2) = (-4, -3) BC = C - B = (3, -4) - (-3, -1) = (6, -3) CA = A - C = (1, 2) - (3, -4) = (-2, 6) Ta tính tích vô hướng của các vector này với vector AM = M - A = (m, (m-5)/3) - (1, 2) = (m-1, (m-5)/3-2) = (m-1, (m-11)/3): AB · AM = (-4, -3) · (m-1, (m-11)/3) = -4(m-1) - 3((m-11)/3) = -4m + 4 - (m-11) = -5m + 15 BC · BM = (6, -3) · (m-1, (m-11)/3) = 6(m-1) - 3((m-11)/3) = 6m - 6 - (m-11) = 5m + 5 CA · CM = (-2, 6) · (m-1, (m-11)/3) = -2(m-1) + 6((m-11)/3) = -2m + 2 + 2(m-11) = -2m + 2 + 2m - 22 = -20 Để điểm M nằm bên trong tam giác ABC, ta cần các tích vô hướng AB · AM, BC · BM và CA · CM có cùng dấu. Vì vậy, ta có hệ phương trình sau: -5m + 15 > 0 5m + 5 > 0 -20 > 0 Giải hệ phương trình này, ta có: -5m + 15 > 0 => m < 3 5m + 5 > 0 => m > -1 -20 > 0 => không có điều kiện Vậy, điều kiện của tham số m để M (m, (m-5)/3) nằm bên trong tam giác ABC là -1 < m < 3.