Chứng minh rằng nếu: (x-y )^2 + (y-z)^2 + (z - x )^2 = (y + z - 2x)^2 + (z + x - 2y)^2 + (x + y - 2z )^2 thì x = y = z

Để chứng minh rằng x = y = z, ta sẽ giải phương trình đã cho. Ta có: (x - y)^2 + (y - z)^2 + (z - x)^2 = (y + z - 2x)^2 + (z + x - 2y)^2 + (x + y - 2z)^2 Mở ngoặc và rút gọn, ta được: x^2 - 2xy + y^2 + y^2 - 2yz + z^2 + z^2 - 2xz + x^2 = y^2 + 2yz + z^2 + z^2 - 2xy - 4xz + 4x^2 + x^2 + y^2 + 2xy - 4yz + 4y^2 + z^2 + 2xz - 4xy + 4z^2 - 4yz + 4x^2 Rút gọn các thành phần tương tự, ta có: x^2 - 2xy + y^2 + y^2 - 2yz + z^2 + z^2 - 2xz + x^2 = 4x^2 + 4y^2 + 4z^2 - 4xy - 4yz - 4xz Tiếp theo, ta nhóm các thành phần có cùng biến số: x^2 + y^2 + z^2 - 2xy - 2yz - 2xz = 3x^2 + 3y^2 + 3z^2 - 4xy - 4yz - 4xz Rút gọn, ta được: 2x^2 + 2y^2 + 2z^2 - 2xy - 2yz - 2xz = 0 Chia cả hai vế cho 2, ta có: x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - xz = 0 Đặt A = x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - xz, ta có A = 0. Ta sẽ chứng minh rằng nếu A = 0, thì x = y = z. Giả sử x ≠ y, ta có: A = x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - xz > x^2 + x^2 + z^2 - xy - yz - xz = 2x^2 - xy - yz - xz > 0 Tương tự, giả sử y ≠ z và z ≠ x, ta cũng có A > 0. Vậy, ta kết luận rằng nếu A = 0, thì x = y = z. Do đó, nếu (x - y)^2 + (y - z)^2 + (z - x)^2 = (y + z - 2x)^2 + (z + x - 2y)^2 + (x + y - 2z)^2, thì x = y = z.