Cho tam giác nhọn ABC, E là tâm đường tròn Euler. Các đường cao AX,BY,CZ đồng quy tại H. BH, CH theo thứ tự cắt XZ, XY tại M,N. Chứng minh rằng AE vuông góc với MN.

Để chứng minh AE vuông góc với MN, ta sẽ sử dụng tính chất của đường tròn Euler và đường cao trong tam giác nhọn ABC. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Ta biết rằng đường cao AH cũng là đường trung trực của đoạn thẳng BC, do đó H là trung điểm của đoạn thẳng BC. Vì BH và CH cắt XZ và XY tại M và N theo thứ tự, nên ta có: BM/BX = CM/CX và BN/BY = CN/CY. Áp dụng định lý Ceva trong tam giác ABC, ta có: (BM/BX) * (CN/CY) * (AX/AH) = 1. Vì BM/BX = CM/CX và BN/BY = CN/CY, nên ta có: (BM/BX) * (BN/BY) = (CM/CX) * (CN/CY). Do đó, ta có: (BM/BX) * (BN/BY) * (AX/AH) = (CM/CX) * (CN/CY) * (AX/AH) = 1. Từ đó, suy ra AX/AH = 1, hay AX = AH. Vì AE là đường trung trực của đoạn thẳng HX, nên ta có AE vuông góc với HX. Vì HX song song với MN (vì H là trung điểm của BC), nên ta có AE vuông góc với MN. Vậy, ta đã chứng minh được rằng AE vuông góc với MN.