Giải bài sau Bài 3:(2,0 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a +b c+c a=1.,Chứng minh rằng: \frac{a^{3}}{9a b^{2}c+1}+\frac{b^{3}}{9a b c^{2}+1}+\frac{c^{3}}{9a^{2}b c+1}\geq\frac{(a+b+c)^{3}}{18}

Question

Giải bài sau Bài 3:(2,0 điểm)  Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn  a   +b c+c a=1.,Chứng minh rằng:   \frac{a^{3}}{9a b^{2}c+1}+\frac{b^{3}}{9a b c^{2}+1}+\frac{c^{3}}{9a^{2}b c+1}\geq\frac{(a+b+c)^{3}}{18}

Accepted Answer

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được
$\displaystyle \frac{a^{3} \ }{1+\ 9b^{2} ca} +\ \frac{b^{3} \ }{1+\ 9c^{2} \ ab\ } +\ \frac{c^{3}}{1+\ 9a^{2} bc\ } \geqslant \ \frac{\left( a^{2} \ +\ b^{2} \ +\ c^{2} \ \right)^{2} \ }{a+\ b\ +\ c\ +\ 9abc\ ( ab\ +bc\ +ca)}$
Dễ thấy $\displaystyle a^{2} \ +\ b^{2} \ +\ c^{2} \geqslant \frac{( a+b+c)^{2} \ }{3} \ $ và để ý đến giả thuyết $\displaystyle ab\ +bc\ +\ ca\ =\ 1\ $ ta được
$\displaystyle \frac{\left( a^{2} \ +\ b^{2} \ +\ c^{2} \ \right)^{2} \ }{a+\ b\ +\ c\ +\ 9abc\ ( ab\ +bc\ +ca)} \ \geqslant \ \frac{( a+b+c)^{4} \ }{9( a+b+c+9abc)}$
Do đó ta có
$\displaystyle \frac{a^{3} \ }{1+\ 9b^{2} ca} +\ \frac{b^{3} \ }{1+\ 9c^{2} \ ab\ } +\ \frac{c^{3}}{1+\ 9a^{2} bc\ } \geqslant \frac{( a+b+c)^{4} \ }{9( a+b+c+9abc)}$
Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu chỉ ra được
$\displaystyle \frac{( a+b+c)^{4} \ }{9( a+b+c+9abc)} \ \geqslant \frac{( a+b+c)^{3} \ }{18}$
Hay $\displaystyle a+b+c\ \geqslant 9abc\ $ Để ý đến giả thuyết $\displaystyle ab\ +bc\ +\ ca\ =\ 1$ áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được
$\displaystyle a+b+c\ =\ ( a+b+c)( ab+bc+ac) \ \geqslant 3\ \sqrt[3]{abc\ } 3.\ \sqrt[3]{a^{2} \ b^{2} \ c^{2} \ } =\ 9abc\ $
Vậy BDT được chứng minh xong. BDT xảy ra khi và chỉ khi $\displaystyle a=b=c=\frac{1\ }{\sqrt{3}}$