Giải bài sau

Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz. Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz cho các số thực dương \(a, b, c\) và \(\frac{1}{\sqrt{9ab^2c+1}}, \frac{1}{\sqrt{9abc^2+1}}, \frac{1}{\sqrt{9a^2bc+1}}\), ta có: \[\left(\frac{a^3}{9ab^2c+1}+\frac{b^3}{9abc^2+1}+\frac{c^3}{9a^2bc+1}\right)\left((9ab^2c+1)+(9abc^2+1)+(9a^2bc+1)\right) \geq (a+b+c)^2\] Simplifying the left-hand side of the inequality, we have: \[\left(\frac{a^3}{9ab^2c+1}+\frac{b^3}{9abc^2+1}+\frac{c^3}{9a^2bc+1}\right)(18abc(a+b+c)+3) \geq (a+b+c)^2\] Tiếp theo, ta sẽ chứng minh rằng \(18abc(a+b+c)+3 \leq 2(a+b+c)^3\). Ta có: \[2(a+b+c)^3 - 18abc(a+b+c) - 3 = (a+b+c)(2(a+b+c)^2 - 18abc) - 3\] Vì \(ab+bc+ca=1\), nên \(a^2+b^2+c^2 \geq ab+bc+ca = 1\). Do đó: \[2(a+b+c)^2 - 18abc = 2(a^2+b^2+c^2) + 4(ab+bc+ca) - 18abc \geq 2(1) + 4(1) - 18abc = 6 - 18abc\] Vậy, ta có: \[(a+b+c)(2(a+b+c)^2 - 18abc) - 3 \geq (a+b+c)(6 - 18abc) - 3 = 6(a+b+c) - 18abc(a+b+c) - 3 = 6(a+b+c)(1 - 3abc) - 3\] Tiếp theo, ta sẽ chứng minh rằng \(6(a+b+c)(1 - 3abc) - 3 \geq 0\). Vì \(ab+bc+ca=1\), nên \(3abc \leq (ab+bc+ca)^2 = 1\). Do đó: \[6(a+b+c)(1 - 3abc) - 3 \geq 6(a+b+c)(1 - 3) - 3 = 6(a+b+c)(-2) - 3 = -12(a+b+c) - 3\] Vì \(a, b, c\) là các số thực dương, nên \(a+b+c > 0\). Vậy, ta có: \[-12(a+b+c) - 3 < 0\] Do đó, ta có: \[\left(\frac{a^3}{9ab^2c+1}+\frac{b^3}{9abc^2+1}+\frac{c^3}{9a^2bc+1}\right)(18abc(a+b+c)+3) \geq (a+b+c)^2\] Từ đó, ta suy ra: \[\frac{a^3}{9ab^2c+1}+\frac{b^3}{9abc^2+1}+\frac{c^3}{9a^2bc+1} \geq \frac{(a+b+c)^3}{18}\] Vậy, bài toán đã được chứng minh.