Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn đồng thời các điều kiện a^2/a^2+1=b, 8b^2/4b^2+1=c và 2c^2/c^2+1=a Tinh giá trị của biểu thức P = a + b + c

Có$\displaystyle \frac{a^{2}}{a^{2} +b} =b\Rightarrow \frac{a^{2} +1}{a} =\frac{1}{b} \Rightarrow a+\frac{1}{a^{2}} =\frac{1}{b}$ Tương tự ta có $\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} \frac{1}{2} +\frac{1}{8b^{2}} =\frac{1}{c} \Rightarrow 4+\frac{1}{b^{2}} =\frac{8}{c}\\ \frac{1}{2} +\frac{1}{2c^{2}} =\frac{1}{a} \Rightarrow 1+\frac{1}{c^{2}} =\frac{2}{a} \end{array}$ Đặt $\displaystyle \frac{1}{a} =x;\frac{1}{b} =y;\frac{1}{c} =z$ Ta có hệ $\displaystyle \begin{cases} 1+x^{2} -y & \\ 4+y^{2} =8z & \Leftrightarrow \begin{cases} 4+( 2x)^{2} =4y & \\ 4+y^{2} =8z & \\ 4+( 2z)^{2} =8x & \end{cases}\\ 1+z^{2} =2x & \end{cases}$ Cộng ba vế $\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} ( 2x)^{2} -8x+y^{2} -4y+( 2z)^{2} -8z+12=0\\ \Leftrightarrow ( 2x-2)^{2} +( y-2)^{2} +( 2z-2)^{2} =0\\ \Leftrightarrow \begin{cases} x=1 & \\ y=2 & \begin{cases} a=1 & \\ b=\frac{1}{2} & \\ c=1 & \end{cases}\\ z=1 & \end{cases} \end{array}$ $\displaystyle \Rightarrow P=a+b+c=\frac{5}{2}$