Trợ lý học tập AI - Câu trả lời này chỉ mang tính tham khảo
Để tìm các giá trị của tham số m để hàm số đã cho có cực đại và cực tiểu, ta cần xét đến điều kiện của đạo hàm của hàm số.
Đầu tiên, ta tính đạo hàm của hàm số:
\[
y' = 3x^2 + 6x - (m+1)
\]
Tiếp theo, ta tìm nghiệm của phương trình \(y' = 0\) để xác định các điểm cực trị của hàm số. Ta giải phương trình này:
\[
3x^2 + 6x - (m+1) = 0
\]
Phương trình này là một phương trình bậc hai. Ta áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai để giải phương trình này:
\[
x = \frac{{-(6) \pm \sqrt{{(6)^2 - 4(3)(-(m+1))}}}}{{2(3)}}
\]
Simplifying this expression, we get:
\[
x = \frac{{-6 \pm \sqrt{{36 + 12(m+1)}}}}{{6}}
\]
\[
x = \frac{{-6 \pm \sqrt{{36 + 12m + 12}}}}{{6}}
\]
\[
x = \frac{{-6 \pm \sqrt{{12m + 48}}}}{{6}}
\]
\[
x = \frac{{-6 \pm 2\sqrt{{3m + 12}}}}{{6}}
\]
\[
x = \frac{{-3 \pm \sqrt{{3m + 12}}}}{{3}}
\]
Vậy, các điểm cực trị của hàm số là \(x = \frac{{-3 + \sqrt{{3m + 12}}}}{{3}}\) và \(x = \frac{{-3 - \sqrt{{3m + 12}}}}{{3}}\).
Tiếp theo, ta xét đến giá trị của đạo hàm tại các điểm cực trị để xác định xem chúng là cực đại hay cực tiểu. Để làm điều này, ta tính giá trị của đạo hàm tại các điểm cực trị:
\[
y'' = 6x + 6
\]
Để xác định xem một điểm cực trị là cực đại hay cực tiểu, ta xét dấu của đạo hàm bậc hai tại điểm đó. Nếu \(y'' > 0\) tại điểm đó, thì điểm đó là cực tiểu. Ngược lại, nếu \(y'' < 0\) tại điểm đó, thì điểm đó là cực đại.
Áp dụng vào bài toán này, ta tính giá trị của đạo hàm bậc hai tại các điểm cực trị:
\[
y''\left(\frac{{-3 + \sqrt{{3m + 12}}}}{{3}}\right) = 6\left(\frac{{-3 + \sqrt{{3m + 12}}}}{{3}}\right) + 6
\]
\[
y''\left(\frac{{-3 - \sqrt{{3m + 12}}}}{{3}}\right) = 6\left(\frac{{-3 - \sqrt{{3m + 12}}}}{{3}}\right) + 6
\]
Ta cần xét dấu của hai biểu thức trên để xác định các điểm cực trị là cực đại hay cực tiểu.
Để tìm các giá trị của tham số m để hàm số đã cho có cực đại và cực tiểu, ta cần xác định điểm cực đại và điểm cực tiểu của hàm số. Điểm cực đại là điểm mà hàm số đạt giá trị lớn nhất và điểm cực tiểu là điểm mà hàm số đạt giá trị nhỏ nhất.
Để tìm điểm cực đại và cực tiểu của hàm số, ta cần tìm điểm mà đạo hàm của hàm số bằng 0.
Đạo hàm của hàm số y = x^3 + 3x^2 - (m+1)x - 2 là:
y' = 3x^2 + 6x - (m+1)
Để tìm điểm mà đạo hàm bằng 0, ta giải phương trình:
3x^2 + 6x - (m+1) = 0
Điều kiện để hàm số có điểm cực đại và cực tiểu là phương trình trên có nghiệm thực. Điều này xảy ra khi delta (Δ) của phương trình lớn hơn hoặc bằng 0.
Δ = b^2 - 4ac
= 6^2 - 4(3)(-(m+1))
= 36 + 12(m+1)
= 36 + 12m + 12
= 12m + 48
Để Δ ≥ 0, ta có:
12m + 48 ≥ 0
12m ≥ -48
m ≥ -4
Vậy, các giá trị của tham số m để hàm số đã cho có cực đại và cực tiểu là m ≥ -4.
Hãy giúp mọi người biết câu trả lời này thế nào?
0/5(0 đánh giá)
0
0 bình luận
Bình luận
Nếu bạn muốn hỏi bài tập
Các câu hỏi của bạn luôn được giải đáp dưới 10 phút
FQA.vn Nền tảng kết nối cộng đồng hỗ trợ giải bài tập học sinh trong khối K12. Sản phẩm được phát triển bởi CÔNG TY TNHH CÔNG NGHỆ GIA ĐÌNH (FTECH CO., LTD)
Điện thoại: 1900636019
Email: info@fqa.vn
Địa chỉ: Số 21 Ngõ Giếng, Phố Đông Các, Phường Ô Chợ Dừa, Quận Đống Đa, Thành phố Hà Nội, Việt Nam.