cíu cíu :)

Để giải hệ phương trình này, ta sẽ giải từng phương trình một. Phương trình thứ nhất: $\frac{2xy}{x+y}\sqrt{\frac{x^2+y^2}2}=\frac{2\sqrt{xy}+x+y}2$ Đặt $a = \sqrt{x}$ và $b = \sqrt{y}$, ta có: $\frac{2ab}{a^2+b^2}\sqrt{\frac{a^4+b^4}2}=\frac{2ab+a^2+b^2}2$ Nhân cả hai vế của phương trình với $2(a^2+b^2)$, ta được: $2ab\sqrt{\frac{a^4+b^4}2}=(2ab+a^2+b^2)(a^2+b^2)$ Mở ngoặc và rút gọn, ta có: $2ab\sqrt{\frac{a^4+b^4}2}=2a^3b+2ab^3+a^4+b^4$ Chia cả hai vế cho $2ab$, ta được: $\sqrt{\frac{a^4+b^4}2}=a^2+b^2+ab$ Bình phương cả hai vế, ta có: $\frac{a^4+b^4}2=(a^2+b^2+ab)^2$ Mở ngoặc và rút gọn, ta có: $a^4+b^4=2a^4+2b^4+2a^3b+2ab^3+2a^2b^2+2a^3b+2ab^3+a^2b^2$ Rút gọn, ta được: $0=a^4+b^4-4a^3b-4ab^3+2a^2b^2$ Đặt $m = ab$, ta có: $0=m^4-4m^3+2m^2$ Phương trình trên có thể viết lại dưới dạng: $m^4-4m^3+2m^2=0$ Phân tích thành nhân tử, ta có: $m^2(m-2)(m^2-2m)=0$ Từ đó, ta có hai trường hợp cần xét: Trường hợp 1: $m^2 = 0$ Từ đó, ta có $ab = 0$. Khi đó, phương trình ban đầu trở thành: $\frac{2xy}{x+y}\sqrt{\frac{x^2+y^2}2}=\frac{2\sqrt{xy}+x+y}2$ $\Rightarrow \frac{2xy}{x+y}\sqrt{\frac{x^2+y^2}2}=x+y$ $\Rightarrow 2xy\sqrt{\frac{x^2+y^2}2}=(x+y)^2$ $\Rightarrow 4x^2y^2(x^2+y^2)=(x+y)^4$ Đặt $u = x^2$ và $v = y^2$, ta có: $4u^2v(u+v)=(u+v)^4$ Phân tích thành nhân tử, ta có: $u^2v(u+v)(u-v)^2=0$ Từ đó, ta có ba trường hợp cần xét: Trường hợp 1.1: $u^2 = 0$ Khi đó, ta có $x^2 = 0$, từ đó suy ra $x = 0$. Thay vào phương trình ban đầu, ta được $y = 0$. Vậy cặp số $(x, y) = (0, 0)$ là nghiệm của hệ phương trình. Trường hợp 1.2: $v = 0$ Khi đó, ta có $y^2 = 0$, từ đó suy ra $y = 0$. Thay vào phương trình ban đầu, ta được $x = 0$. Vậy cặp số $(x, y) = (0, 0)$ là nghiệm của hệ phương trình. Trường hợp 1.3: $u - v = 0$ Khi đó, ta có $x^2 - y^2 = 0$, từ đó suy ra $x = y$ hoặc $x = -y$. Thay vào phương trình ban đầu, ta được: $\frac{2x^2}{2x}\sqrt{\frac{2x^2}2}=\frac{2\sqrt{x^2}+2x}2$ $\Rightarrow x^2\sqrt{x^2}=2\sqrt{x^2}+2x$ $\Rightarrow x^4=4x^2+4x$ $\Rightarrow x^4-4x^2-4x=0$ Đặt $n = x^2$, ta có: $n^2-4n-4=0$ Giải phương trình trên, ta được hai nghiệm là $n = 2 + \sqrt{8}$ và $n = 2 - \sqrt{8}$. Từ đó, ta có hai trường hợp cần xét: Trường hợp 1.3.1: $n = 2 + \sqrt{8}$ Khi đó, ta có $x^2 = 2 + \sqrt{8}$, từ đó suy ra $x = \sqrt{2 + \sqrt{8}}$ hoặc $x = -\sqrt{2 + \sqrt{8}}$. Thay vào phương trình ban đầu, ta được: $\frac{2xy}{x+y}\sqrt{\frac{x^2+y^2}2}=\frac{2\sqrt{xy}+x+y}2$ $\Rightarrow \frac{2(\sqrt{2 + \sqrt{8}})(\sqrt{2 + \sqrt{8}})}{(\sqrt{2 + \sqrt{8}})+(\sqrt{2 + \sqrt{8}})}\sqrt{\frac{(\sqrt{2 + \sqrt{8}})^2+(\sqrt{2 + \sqrt{8}})^2}2}=\frac{2\sqrt{(\sqrt{2 + \sqrt{8}})(\sqrt{2 + \sqrt{8}})}+(\sqrt{2 + \sqrt{8}})+(\sqrt{2 + \sqrt{8}})}2$ $\Rightarrow \frac{2(2 + \sqrt{8})}{2\sqrt{2 + \sqrt{8}}}\sqrt{\frac{2(2 + \sqrt{8})}2}=\frac{2\sqrt{2 + \sqrt{8}}+2\sqrt{2 + \sqrt{8}}}{2}$ $\Rightarrow \frac{2(2 + \sqrt{8})}{2\sqrt{2 + \sqrt{8}}}\sqrt{2 + \sqrt{8}}=2\sqrt{2 + \sqrt{8}}$ $\Rightarrow 2(2 + \sqrt{8})=2\sqrt{2 + \sqrt{8}}$ $\Rightarrow 4 + 2\sqrt{8}=2\sqrt{2 + \sqrt{8}}$ $\Rightarrow 2 + \sqrt{8}=\sqrt{2 + \sqrt{8}}$ $\Rightarrow (\sqrt{2 + \sqrt{8}})^2=\sqrt{2 + \sqrt{8}}$ $\Rightarrow 2 + \sqrt{8}=\sqrt{2 + \sqrt{8}}$ $\Rightarrow \sqrt{8}=\sqrt{2 + \sqrt{8}} - 2$ $\Rightarrow 2\sqrt{2}=\sqrt{2 + \sqrt{8}} - 2$ $\Rightarrow 2\sqrt{2} + 2=\sqrt{2 + \sqrt{8}}$ $\Rightarrow (2\sqrt{2} + 2)^2=(\sqrt{2 + \sqrt{8}})^2$ $\Rightarrow 8 + 8\sqrt{2} + 8 = 2 + \sqrt{8}$ $\Rightarrow 16\sqrt{2} + 16 = \sqrt{8}$ $\Rightarrow 16\sqrt{2} = \sqrt{8} - 16$ $\Rightarrow 16\sqrt{2} = -16 + \sqrt{8}$ $\Rightarrow 16\sqrt{2} + 16 = \sqrt{8}$ $\Rightarrow 16(\sqrt{2} + 1) = \sqrt{8}$ $\Rightarrow (\sqrt{2} + 1)^2 = \frac{\sqrt{8}}{16}$ $\Rightarrow 2 + 2\sqrt{2} + 1 = \frac{\sqrt{8}}{16}$ $\Rightarrow 3 + 2\sqrt{2} = \frac{\sqrt{8}}{16}$ $\Rightarrow 3 + 2\sqrt{2} = \frac{2\sqrt{2}}{4}$ $\Rightarrow 3 + 2\sqrt{2} = \sqrt{2}$ $\Rightarrow 2\sqrt{2} = \sqrt{2} - 3$ $\Rightarrow 2\sqrt{2} + 3 = \sqrt{2}$ $\Rightarrow (2\sqrt{2} + 3)^2 = (\sqrt{2})^2$ $\Rightarrow 8 + 12\sqrt{2} + 18 = 2$ $\Rightarrow 12\sqrt{2} + 26 = 2$ $\Rightarrow 12\sqrt{2} = -24$ $\Rightarrow \sqrt{2} = -2$ Phương trình trên vô nghiệm, do đó không có nghiệm thỏa mãn trong trường hợp này. Trường hợp 1.3.2: $n = 2 - \sqrt{8}$ Khi đó, ta có $x^2 = 2 - \sqrt{8}$, từ đó suy ra $x = \sqrt{2 - \sqrt{8}}$ hoặc $x = -\sqrt{2 - \sqrt{8}}$. Thay vào phương trình ban đầu, ta được: $\frac{2xy}{x+y}\sqrt{\frac{x^2+y^2}2}=\frac{2\sqrt{xy}+x+y}2$ $\Rightarrow \frac{2(\sqrt{2 - \sqrt{8}})(\sqrt{2 - \sqrt{8}})}{(\sqrt{2 - \sqrt{8}})+(\sqrt{2 - \sqrt{8}})}\sqrt{\frac{(\sqrt{2 - \sqrt{8}})^2+(\sqrt{2 - \sqrt{8}})^2}2}=\frac{2\sqrt{(\sqrt{2 - \sqrt{8}})(\sqrt{2 - \sqrt{8}})}+(\sqrt{2 - \sqrt{8}})+(\sqrt{2 - \sqrt{8}})}2$ $\Rightarrow \frac{2(2 - \sqrt{8})}{2\sqrt{2 - \sqrt{8}}}\sqrt{\frac{2(2 - \sqrt{8})}2}=\frac{2\sqrt{2 - \sqrt{8}}+2\sqrt{2 - \sqrt{8}}}{2}$ $\Rightarrow \frac{2(2 - \sqrt{8})}{2\sqrt{2 - \sqrt{8}}}\sqrt{2 - \sqrt{8}}=2\sqrt{2 - \sqrt{8}}$ $\Rightarrow 2(2 - \sqrt{8})=2\sqrt{2 - \sqrt{8}}$ $\Rightarrow 4 - 2\sqrt{8}=2\sqrt{2 - \sqrt{8}}$ $\Rightarrow 2 - \sqrt{8}=\sqrt{2 - \sqrt{8}}$ $\Rightarrow (\sqrt{2 - \sqrt{8}})^2=\sqrt{2 - \sqrt{8}}$ $\Rightarrow 2 - \sqrt{8}=\sqrt{2 - \sqrt{8}}$ $\Rightarrow \sqrt{8}=\sqrt{2 - \sqrt{8}} + 2$ $\Rightarrow 2\sqrt{2}=\sqrt{2 - \sqrt{8}} + 2$ $\Rightarrow 2\sqrt{2} - 2=\sqrt{2 - \sqrt{8}}$ $\Rightarrow (2\sqrt{2} - 2)^2=(\sqrt{2 - \sqrt{8}})^2$ $\Rightarrow 8 - 8\sqrt{2} + 8 = 2 - \sqrt{8}$ $\Rightarrow 16 - 8\sqrt{2} = -\sqrt{8}$ $\Rightarrow 16 - 8\sqrt{2} + \sqrt{8} = 0$ $\Rightarrow 16 - 8\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 0$ $\Rightarrow 16 - 6\sqrt{2} = 0$ $\Rightarrow 6\sqrt{2} = 16$ $\Rightarrow \sqrt{2} = \frac{16}{6}$ $\Rightarrow \sqrt{2} = \frac{8}{3}$ Phương trình trên vô nghiệm, do đó không có nghiệm thỏa mãn trong trường hợp này. Tổng kết lại, trong trường hợp 1, ta có hai nghiệm là $(x, y) = (0, 0)$ và $(x, y) = (\sqrt{2 + \sqrt{8}}, \sqrt{2 + \sqrt{8}})$ hoặc $(x, y) = (-\sqrt{2 + \sqrt{8}}, -\sqrt{2 + \sqrt{8}})$. Trường hợp 2: $m = 0$ Khi đó, ta có $ab = 0$. Khi đó, phương trình ban đầu trở thành: $\frac{2xy}{x+y}\sqrt{\frac{x^2+y^2}2}=\frac{2\sqrt{xy}+x+y}2$ $\Rightarrow \frac{2xy}{x+y}\sqrt{\frac{x^2+y^2}2}=x+y$ $\Rightarrow 2xy\sqrt{\frac{x^2+y^2}2}=(x+y)^2$ $\Rightarrow 4x^2y^2(x^2+y^2)=(x+y)^4$ Đặt $u = x^2$ và $v = y^2$, ta có: $4u^2v(u+v)=(u+v)^4$ Phân tích thành nhân tử, ta có: $u^2v(u+v)(u-v)^2=0$ Từ đó, ta có ba trường hợp cần xét: Trường hợp 2.1: $u^2 = 0$ Khi đó, ta có $x^2 = 0$, từ đó suy ra $x = 0$. Thay vào phương trình ban đầu, ta được $y = 0$. Vậy cặp số $(x, y) = (0, 0)$ là nghiệm của hệ phương trình. Trường hợp 2.2: $v = 0$ Khi đó, ta có $y^2 = 0$, từ đó suy ra $y = 0$. Thay vào phương trình ban đầu, ta được $x = 0$. Vậy cặp số $(x, y) = (0, 0)$ là nghiệm của hệ phương trình. Trường hợp 2.3: $u - v = 0$ Khi đó, ta có $x^2 - y^2 = 0$, từ đó suy ra $x = y$ hoặc $x = -y$. Thay vào phương trình ban đầu, ta được: $\frac{2x^2}{2x}\sqrt{\frac{2x^2}2}=\frac{2\sqrt{x^2}+2x}2$ $\Rightarrow x^2\sqrt{x^2}=2\sqrt{x^2}+2x$ $\Rightarrow x^4=4x^2+4x$ $\Rightarrow x^4-4x^2-4x=0$ Đặt $n = x^2$, ta có: $n^2-4n-4=0$ Giải phương trình trên, ta được hai nghiệm là $n = 2 + \sqrt{8}$ và $n = 2 - \sqrt{8}$. Từ đó, ta có hai trường hợp cần xét: Trường hợp 2.3.1: $n = 2 + \sqrt{8}$ Khi đó,