giúp mik với 15.Cho tam giác ABC thỏa mãn hệ thức   13.Cho tam giác,sin^4C+2sin^4A+2sin^4B=2sin^2C(sin^2A+sin^2B).,Chứng minh   Chứng minh ABC là tam giác vuông cân.   ABC   là tam giác vuông cân.,-

Question

giúp mik với 15.Cho tam giác ABC thỏa mãn hệ thức &nbsp; 13.Cho tam giác,sin^4C+2sin^4A+2sin^4B=2sin^2C(sin^2A+sin^2B).,Chứng minh &nbsp; Chứng minh ABC là tam giác vuông cân. &nbsp; ABC &nbsp; là tam giác vuông cân.,-

Accepted Answer

$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
Ta\ có:\ \sin^{4} C+2\sin^{4} A+2\sin^{4} B=2\sin^{2} C\left(\sin^{2} A+\sin^{2} B ight)\
\Leftrightarrow 2\sin^{4} C+4\sin^{4} A+4\sin^{4} B-4\sin^{2} C\left(\sin^{2} A+\sin^{2} B ight) =0\
\Leftrightarrow 4\sin^{4} A-4\sin^{2} A.\sin^{2} C+\sin^{4} C+4\sin^{4} B-4\sin^{2} B.\sin^{2} C+\sin^{4} C=0\
\Leftrightarrow \left( 2\sin^{2} A-\sin^{2} C ight)^{2} +\left( 2\sin^{2} B-\sin^{2} C ight)^{2} =0\
\Leftrightarrow \begin{cases}
2\sin^{2} A & =\sin^{2} C\
2\sin^{2} B & =\sin^{2} C
\end{cases}\
\Leftrightarrow \begin{cases}
\sin C & =\sqrt{2}\sin A\
\sin C & =\sqrt{2}\sin B
\end{cases}( 1)
\end{array}$
Áp dụng định lí sin, ta có:
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\frac{a}{\sin A} =\frac{b}{\sin B} =\frac{c}{\sin C} =2R\
\Rightarrow ( 1) \Leftrightarrow \begin{cases}
\frac{c}{2R} = & \frac{a\sqrt{2}}{2R}\
\frac{c}{2R} = & \frac{b\sqrt{2}}{2R}
\end{cases} \Leftrightarrow a=b=\frac{c}{\sqrt{2}}\
\Rightarrow \begin{cases}
a= & b\
a^{2} +b^{2} = & \frac{c^{2}}{2} +\frac{c^{2}}{2} =c^{2}
\end{cases}\
\Rightarrow \Delta ABC\ vuông\ cân\ tại\ C
\end{array}$