Cho tam giác ABC, AB = AC = a, góc A = 120°, lấy điểm M trên cạnh BC sao cho BM = 1/3 BC. Tính độ dài đoạn AM?

Trước tiên, ta vẽ đường cao AH từ đỉnh A hạ xuống đáy BC. Vì tam giác ABC là tam giác cân tại A, nên đường cao AH cũng là đường trung tuyến và đường phân giác của góc A. Do đó, ta có BH = HC và góc BAH = góc CAH = 60°. Ta tính độ dài đoạn BH: - Ta có tam giác ABH là tam giác vuông tại H và góc BAH = 60°, góc ABH = 30°. - Trong tam giác vuông có góc 30°, cạnh bên kề với góc 30° bằng nửa cạnh huyền. Do đó, ta có: \[ BH = \frac{AB}{2} = \frac{a}{2} \] Do đó, độ dài đoạn BC là: \[ BC = 2 \times BH = 2 \times \frac{a}{2} = a \] Vì BM = $\frac{1}{3}$ BC, nên ta có: \[ BM = \frac{1}{3} \times a = \frac{a}{3} \] Bây giờ, ta tính độ dài đoạn MH: \[ MH = BC - BM - HC = a - \frac{a}{3} - \frac{a}{2} = a - \frac{2a}{6} - \frac{3a}{6} = a - \frac{5a}{6} = \frac{a}{6} \] Ta tính độ dài đoạn AH: - Trong tam giác vuông ABH, ta có: \[ AH^2 + BH^2 = AB^2 \] \[ AH^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = a^2 \] \[ AH^2 + \frac{a^2}{4} = a^2 \] \[ AH^2 = a^2 - \frac{a^2}{4} = \frac{4a^2}{4} - \frac{a^2}{4} = \frac{3a^2}{4} \] \[ AH = \sqrt{\frac{3a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{3}}{2} \] Cuối cùng, ta tính độ dài đoạn AM: - Trong tam giác vuông AMH, ta có: \[ AM^2 = AH^2 + MH^2 \] \[ AM^2 = \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\frac{a}{6}\right)^2 \] \[ AM^2 = \frac{3a^2}{4} + \frac{a^2}{36} \] \[ AM^2 = \frac{27a^2}{36} + \frac{a^2}{36} = \frac{28a^2}{36} = \frac{7a^2}{9} \] \[ AM = \sqrt{\frac{7a^2}{9}} = \frac{a\sqrt{7}}{3} \] Vậy độ dài đoạn AM là: \[ \boxed{\frac{a\sqrt{7}}{3}} \]