Cho tam giác ABC, AB = AC = a, góc A = 120°, lấy điểm M trên cạnh BC sao cho BM = 1\3 BC. Tính độ dài đoạn AM?

Trước tiên, ta vẽ đường cao AH từ đỉnh A hạ xuống đáy BC. Vì tam giác ABC là tam giác cân tại A nên AH đồng thời là đường trung tuyến và đường phân giác của góc A. Do đó, ta có: - Góc BAH = góc CAH = $\frac{1}{2}$ × 120° = 60° - Góc ABH = góc ACH = $\frac{1}{2}$ × (180° - 120°) = 30° Ta biết rằng trong tam giác vuông, nếu có một góc 30° thì cạnh đối diện với góc đó bằng một nửa cạnh huyền. Do đó: - AH = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{1}{2}$a Bây giờ, ta tính BH: - Ta có BH = AB × cos(30°) = a × $\frac{\sqrt{3}}{2}$ = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ Vì M nằm trên BC và BM = $\frac{1}{3}$BC, ta có: - BM = $\frac{1}{3}$BC = $\frac{1}{3}$ × 2BH = $\frac{1}{3}$ × 2 × $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ = $\frac{a\sqrt{3}}{3}$ Bây giờ, ta tính MH: - MH = BH - BM = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ - $\frac{a\sqrt{3}}{3}$ = $\frac{3a\sqrt{3} - 2a\sqrt{3}}{6}$ = $\frac{a\sqrt{3}}{6}$ Cuối cùng, ta tính độ dài đoạn AM bằng cách sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác AMH: - AM² = AH² + MH² - AM² = ($\frac{a}{2}$)² + ($\frac{a\sqrt{3}}{6}$)² - AM² = $\frac{a^2}{4}$ + $\frac{3a^2}{36}$ - AM² = $\frac{a^2}{4}$ + $\frac{a^2}{12}$ - AM² = $\frac{3a^2 + a^2}{12}$ - AM² = $\frac{4a^2}{12}$ - AM² = $\frac{a^2}{3}$ - AM = $\frac{a}{\sqrt{3}}$ = $\frac{a\sqrt{3}}{3}$ Vậy độ dài đoạn AM là $\frac{a\sqrt{3}}{3}$.