Trong không gian với hệ trục toạ độ $Oxyz$, cho đường thẳng $\Delta:\frac{x-1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{1}$ và mặt cầu $\left(S\right):\left(x-4\right)^2+\left(y-5\right)^2+\left(z-7\right)^2=2$. Hai...

Để giải bài toán này, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm tọa độ của hai điểm A và B trên mặt cầu (S) sao cho tiếp diện của (S) tại A và B vuông góc với nhau. Để tiếp diện của (S) tại A và B vuông góc với nhau, ta cần tìm hai điểm A và B sao cho vector pháp tuyến của tiếp diện tại A vuông góc với vector pháp tuyến của tiếp diện tại B. Vector pháp tuyến của mặt cầu (S) là $\vec{N}=(2(x-4), 2(y-5), 2(z-7))$. Vector pháp tuyến của tiếp diện tại A là $\vec{N_A}=(2(x_A-4), 2(y_A-5), 2(z_A-7))$. Vector pháp tuyến của tiếp diện tại B là $\vec{N_B}=(2(x_B-4), 2(y_B-5), 2(z_B-7))$. Ta có điều kiện để tiếp diện tại A và B vuông góc nhau là: $\vec{N_A} \cdot \vec{N_B} = 0$. Thay các giá trị vào, ta có: $(2(x_A-4), 2(y_A-5), 2(z_A-7)) \cdot (2(x_B-4), 2(y_B-5), 2(z_B-7)) = 0$. Simplifying the equation, we get: $(x_A-4)(x_B-4) + (y_A-5)(y_B-5) + (z_A-7)(z_B-7) = 0$. Bước 2: Tìm tọa độ của điểm M và N trên đường thẳng $\Delta$ sao cho đường thẳng qua A song song với $\Delta$ cắt $(Oxy)$ tại M và đường thẳng qua B song song với $\Delta$ cắt $(Oxy)$ tại N. Đường thẳng qua A song song với $\Delta$ có vector chỉ phương là $\vec{v}=(2,1,1)$. Đường thẳng qua B song song với $\Delta$ có vector chỉ phương là $\vec{u}=(2,1,1)$. Tọa độ của điểm M trên đường thẳng qua A song song với $\Delta$ có thể được biểu diễn bằng: $M(1+2t, t, t)$. Tọa độ của điểm N trên đường thẳng qua B song song với $\Delta$ có thể được biểu diễn bằng: $N(1+2s, s, s)$. Bước 3: Tính giá trị lớn nhất của tống $AM+BN$. Từ công thức khoảng cách giữa hai điểm trong không gian, ta có: $AM = \sqrt{(x_A - (1+2t))^2 + (y_A - t)^2 + (z_A - t)^2}$. $BN = \sqrt{(x_B - (1+2s))^2 + (y_B - s)^2 + (z_B - s)^2}$. Tổng $AM+BN$ là một hàm của các biến t và s. Ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm này. Bước 4: Giải phương trình $\frac{\partial(AM+BN)}{\partial t} = 0$ và $\frac{\partial(AM+BN)}{\partial s} = 0$ để tìm giá trị tối đa của hàm. Giải phương trình $\frac{\partial(AM+BN)}{\partial t} = 0$, ta có: $\frac{\partial(AM+BN)}{\partial t} = \frac{\partial(\sqrt{(x_A - (1+2t))^2 + (y_A - t)^2 + (z_A - t)^2} + \sqrt{(x_B - (1+2s))^2 + (y_B - s)^2 + (z_B - s)^2})}{\partial t} = 0$. Giải phương trình $\frac{\partial(AM+BN)}{\partial s} = 0$, ta có: $\frac{\partial(AM+BN)}{\partial s} = \frac{\partial(\sqrt{(x_A - (1+2t))^2 + (y_A - t)^2 + (z_A - t)^2} + \sqrt{(x_B - (1+2s))^2 + (y_B - s)^2 + (z_B - s)^2})}{\partial s} = 0$. Bước 5: Giải hệ phương trình từ bước 4 để tìm giá trị tối đa của hàm. Giải hệ phương trình từ bước 4, ta có thể tìm được giá trị tối đa của hàm $AM+BN$. Bước 6: Tính giá trị lớn nhất của tống $AM+BN$ từ giá trị tối đa tìm được. Từ giá trị tối đa tìm được ở bước 5, ta có thể tính được giá trị lớn nhất của tống $AM+BN$. Vậy, ta đã giải xong bài toán.