daovantest

Ta có hệ thức $\sin^4C+2\sin^4A+2\sin^4B=2\sin^2C(\sin^2A+\sin^2B)$. Đặt $x=\sin^2A$, $y=\sin^2B$, $z=\sin^2C$. Ta có $x,y,z>0$ và $x+y+z=1$. Khi đó, ta có phương trình sau: \[z^2+2x^2+2y^2=2z(x+y)\] \[\Rightarrow z^2-2z(x+y)+2(x^2+y^2)=0\] Đây là một phương trình bậc hai với biến $z$. Để phương trình có nghiệm duy nhất, ta cần điều kiện $\Delta=0$: \[\Delta=(-2(x+y))^2-4(2)(x^2+y^2)=4(x+y)^2-8(x^2+y^2)=0\] Simplifying the equation, we get: \[4x^2+8xy+4y^2-8x^2-8y^2=0\] \[4x^2-4y^2+8xy=0\] \[4(x^2-y^2)+8xy=0\] \[4(x-y)(x+y)+8xy=0\] \[4(x-y)(x+y+2xy)=0\] Vì $x,y>0$, nên $x+y+2xy>0$. Do đó, ta có $x-y=0$, hay $x=y$. Từ đó, ta có $\sin^2A=\sin^2B$, hay $A=B$. Vậy tam giác ABC là tam giác vuông cân.