giúp với ạ ạ ạ

Bài 3. 1. \( x^2 - 11x + 30 = 0 \) Ta có: \( x^2 - 11x + 30 = 0 \) \( x^2 - 6x - 5x + 30 = 0 \) \( x(x - 6) - 5(x - 6) = 0 \) \( (x - 5)(x - 6) = 0 \) \( x - 5 = 0 \) hoặc \( x - 6 = 0 \) \( x = 5 \) hoặc \( x = 6 \) 2. \( x^2 - 10x + 21 = 0 \) Ta có: \( x^2 - 10x + 21 = 0 \) \( x^2 - 7x - 3x + 21 = 0 \) \( x(x - 7) - 3(x - 7) = 0 \) \( (x - 3)(x - 7) = 0 \) \( x - 3 = 0 \) hoặc \( x - 7 = 0 \) \( x = 3 \) hoặc \( x = 7 \) 3. \( x^2 - 12x + 27 = 0 \) Ta có: \( x^2 - 12x + 27 = 0 \) \( x^2 - 9x - 3x + 27 = 0 \) \( x(x - 9) - 3(x - 9) = 0 \) \( (x - 3)(x - 9) = 0 \) \( x - 3 = 0 \) hoặc \( x - 9 = 0 \) \( x = 3 \) hoặc \( x = 9 \) 4. \( 5x^2 - 17x + 12 = 0 \) Ta có: \( 5x^2 - 17x + 12 = 0 \) \( 5x^2 - 15x - 2x + 12 = 0 \) \( 5x(x - 3) - 2(x - 3) = 0 \) \( (5x - 2)(x - 3) = 0 \) \( 5x - 2 = 0 \) hoặc \( x - 3 = 0 \) \( x = \frac{2}{5} \) hoặc \( x = 3 \) 5. \( 3x^2 - 19x - 22 = 0 \) Ta có: \( 3x^2 - 19x - 22 = 0 \) \( 3x^2 - 22x + 3x - 22 = 0 \) \( x(3x - 22) + 1(3x - 22) = 0 \) \( (x + 1)(3x - 22) = 0 \) \( x + 1 = 0 \) hoặc \( 3x - 22 = 0 \) \( x = -1 \) hoặc \( x = \frac{22}{3} \) 6. \( x^2 - (1 + \sqrt{2})x + \sqrt{2} = 0 \) Ta có: \( x^2 - (1 + \sqrt{2})x + \sqrt{2} = 0 \) \( x^2 - x - \sqrt{2}x + \sqrt{2} = 0 \) \( x(x - 1) - \sqrt{2}(x - 1) = 0 \) \( (x - \sqrt{2})(x - 1) = 0 \) \( x - \sqrt{2} = 0 \) hoặc \( x - 1 = 0 \) \( x = \sqrt{2} \) hoặc \( x = 1 \) 7. \( x^2 - 14x + 33 = 0 \) Ta có: \( x^2 - 14x + 33 = 0 \) \( x^2 - 11x - 3x + 33 = 0 \) \( x(x - 11) - 3(x - 11) = 0 \) \( (x - 3)(x - 11) = 0 \) \( x - 3 = 0 \) hoặc \( x - 11 = 0 \) \( x = 3 \) hoặc \( x = 11 \) 8. \( x^2 - 16x + 84 = 0 \) Ta có: \( x^2 - 16x + 84 = 0 \) \( x^2 - 14x - 2x + 84 = 0 \) \( x(x - 14) - 2(x - 14) = 0 \) \( (x - 2)(x - 14) = 0 \) \( x - 2 = 0 \) hoặc \( x - 14 = 0 \) \( x = 2 \) hoặc \( x = 14 \) 9. \( x^2 + 2x - 8 = 0 \) Ta có: \( x^2 + 2x - 8 = 0 \) \( x^2 + 4x - 2x - 8 = 0 \) \( x(x + 4) - 2(x + 4) = 0 \) \( (x - 2)(x + 4) = 0 \) \( x - 2 = 0 \) hoặc \( x + 4 = 0 \) \( x = 2 \) hoặc \( x = -4 \) 10. \( 5x^2 + 8x + 4 = 0 \) Ta có: \( 5x^2 + 8x + 4 = 0 \) \( 5x^2 + 10x - 2x + 4 = 0 \) \( 5x(x + 2) - 2(x + 2) = 0 \) \( (5x - 2)(x + 2) = 0 \) \( 5x - 2 = 0 \) hoặc \( x + 2 = 0 \) \( x = \frac{2}{5} \) hoặc \( x = -2 \) 11. \( x^2 - 2(\sqrt{3} + \sqrt{2})x + 4\sqrt{6} = 0 \) Ta có: \( x^2 - 2(\sqrt{3} + \sqrt{2})x + 4\sqrt{6} = 0 \) \( x^2 - 2\sqrt{3}x - 2\sqrt{2}x + 4\sqrt{6} = 0 \) \( x(x - 2\sqrt{3}) - 2\sqrt{2}(x - 2\sqrt{3}) = 0 \) \( (x - 2\sqrt{2})(x - 2\sqrt{3}) = 0 \) \( x - 2\sqrt{2} = 0 \) hoặc \( x - 2\sqrt{3} = 0 \) \( x = 2\sqrt{2} \) hoặc \( x = 2\sqrt{3} \) 12. \( 11x^2 + 13x - 24 = 0 \) Ta có: \( 11x^2 + 13x - 24 = 0 \) \( 11x^2 + 22x - 9x - 24 = 0 \) \( 11x(x + 2) - 9(x + 2) = 0 \) \( (11x - 9)(x + 2) = 0 \) \( 11x - 9 = 0 \) hoặc \( x + 2 = 0 \) \( x = \frac{9}{11} \) hoặc \( x = -2 \) 13. \( x^2 - 11x + 30 = 0 \) Ta có: \( x^2 - 11x + 30 = 0 \) \( x^2 - 6x - 5x + 30 = 0 \) \( x(x - 6) - 5(x - 6) = 0 \) \( (x - 5)(x - 6) = 0 \) \( x - 5 = 0 \) hoặc \( x - 6 = 0 \) \( x = 5 \) hoặc \( x = 6 \) 14. \( x^2 - 13x + 42 = 0 \) Ta có: \( x^2 - 13x + 42 = 0 \) \( x^2 - 7x - 6x + 42 = 0 \) \( x(x - 7) - 6(x - 7) = 0 \) \( (x - 6)(x - 7) = 0 \) \( x - 6 = 0 \) hoặc \( x - 7 = 0 \) \( x = 6 \) hoặc \( x = 7 \) Bài 4. a) $2x^3-\sqrt{2}x=0$ $\sqrt{2}x(2x^2-1)=0$ $\sqrt{2}x=0$ hoặc $2x^2-1=0$ $x=0$ hoặc $x^2=\frac{1}{2}$ $x=0$ hoặc $x=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$ Vậy phương trình có ba nghiệm: $x=0$, $x=\frac{\sqrt{2}}{2}$, $x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ b) $x^2-4=0$ $(x-2)(x+2)=0$ $x-2=0$ hoặc $x+2=0$ $x=2$ hoặc $x=-2$ Vậy phương trình có hai nghiệm: $x=2$, $x=-2$ c) $3x^2=27$ $x^2=9$ $x=\pm 3$ Vậy phương trình có hai nghiệm: $x=3$, $x=-3$ d) $x^2+1=0$ $x^2=-1$ Phương trình này vô nghiệm vì $x^2$ luôn lớn hơn hoặc bằng 0, không thể bằng -1. Vậy phương trình vô nghiệm. Bài 5. Để tìm tọa độ các giao điểm của parabol $(P):~y=-\frac14x^2$ với đường thẳng $(d):~y=-\frac23x+\frac13$, ta thực hiện các bước sau: 1. Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) - Đối với bài toán này, không có điều kiện xác định cụ thể nào cần thiết. 2. Bước 2: Xét phương trình hoành độ giao điểm - Để tìm tọa độ giao điểm, ta đặt phương trình của parabol $(P)$ bằng phương trình của đường thẳng $(d)$: \[ -\frac14x^2 = -\frac23x + \frac13 \] 3. Bước 3: Giải phương trình - Nhân cả hai vế với 12 để loại bỏ mẫu số: \[ -3x^2 = -8x + 4 \] - Chuyển tất cả các hạng tử về một vế: \[ -3x^2 + 8x - 4 = 0 \] - Nhân cả phương trình với -1 để đơn giản hóa: \[ 3x^2 - 8x + 4 = 0 \] 4. Bước 4: Tìm nghiệm của phương trình bậc hai - Ta sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai \(ax^2 + bx + c = 0\): \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] - Với \(a = 3\), \(b = -8\), \(c = 4\): \[ x = \frac{8 \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4}}{2 \cdot 3} \] \[ x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 48}}{6} \] \[ x = \frac{8 \pm \sqrt{16}}{6} \] \[ x = \frac{8 \pm 4}{6} \] - Ta có hai nghiệm: \[ x_1 = \frac{8 + 4}{6} = 2 \] \[ x_2 = \frac{8 - 4}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \] 5. Bước 5: Tìm tung độ tương ứng - Thay \(x_1 = 2\) vào phương trình của đường thẳng $(d)$: \[ y = -\frac23 \cdot 2 + \frac13 = -\frac43 + \frac13 = -1 \] - Thay \(x_2 = \frac{2}{3}\) vào phương trình của đường thẳng $(d)$: \[ y = -\frac23 \cdot \frac{2}{3} + \frac13 = -\frac{4}{9} + \frac{3}{9} = -\frac{1}{9} \] 6. Bước 6: Kết luận - Các giao điểm của parabol $(P)$ với đường thẳng $(d)$ là: \[ (2, -1) \text{ và } \left( \frac{2}{3}, -\frac{1}{9} \right) \] Đáp số: \((2, -1)\) và \(\left( \frac{2}{3}, -\frac{1}{9} \right)\) Bài 6. Bài 7a) - Vẽ đồ thị (P) của hàm số \( y = x^2 \) Đồ thị của hàm số \( y = x^2 \) là một parabol mở rộng lên trên, với đỉnh tại gốc tọa độ (0, 0). Các điểm trên đồ thị có thể được tính toán như sau: | x | y | |---|---| | -2 | 4 | | -1 | 1 | | 0 | 0 | | 1 | 1 | | 2 | 4 | - Vẽ đường thẳng (D) của phương trình \( y = x + 2 \) Đường thẳng này có dạng \( y = x + 2 \). Ta có thể tính toán các điểm trên đường thẳng như sau: | x | y | |---|---| | -2 | 0 | | -1 | 1 | | 0 | 2 | | 1 | 3 | | 2 | 4 | b) Tìm tọa độ các giao điểm của (P) và (D) Để tìm tọa độ các giao điểm của (P) và (D), ta cần giải hệ phương trình: \[ \begin{cases} y = x^2 \\ y = x + 2 \end{cases} \] Thay \( y = x + 2 \) vào \( y = x^2 \): \[ x^2 = x + 2 \] Rearrange the equation to standard form: \[ x^2 - x - 2 = 0 \] Factorize the quadratic equation: \[ (x - 2)(x + 1) = 0 \] Solving for \( x \): \[ x - 2 = 0 \quad \text{hoặc} \quad x + 1 = 0 \] \[ x = 2 \quad \text{hoặc} \quad x = -1 \] Substitute these values of \( x \) back into \( y = x + 2 \) to find the corresponding \( y \)-values: - When \( x = 2 \): \[ y = 2 + 2 = 4 \] - When \( x = -1 \): \[ y = -1 + 2 = 1 \] Therefore, the coordinates of the intersection points are: \[ (2, 4) \quad \text{và} \quad (-1, 1) \] Bài 8: Để tìm tọa độ các giao điểm của parabol $(P):~y=x^2$ và đường thẳng $(d):~y=2x+3$, ta thực hiện các bước sau: 1. Bước 1: Xác định điều kiện xác định - Đối với bài toán này, không có điều kiện xác định cụ thể nào cần thiết. 2. Bước 2: Thiết lập phương trình - Để tìm giao điểm của $(P)$ và $(d)$, ta cần giải phương trình $x^2 = 2x + 3$. 3. Bước 3: Giải phương trình - Viết phương trình dưới dạng: \[ x^2 - 2x - 3 = 0 \] - Ta sử dụng phương pháp phân tích để giải phương trình bậc hai này: \[ x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1) = 0 \] - Từ đây, ta có hai nghiệm: \[ x - 3 = 0 \quad \text{hoặc} \quad x + 1 = 0 \] \[ x = 3 \quad \text{hoặc} \quad x = -1 \] 4. Bước 4: Tìm tọa độ giao điểm - Thay $x = 3$ vào phương trình của đường thẳng $(d)$: \[ y = 2(3) + 3 = 6 + 3 = 9 \] Vậy tọa độ giao điểm thứ nhất là $(3, 9)$. - Thay $x = -1$ vào phương trình của đường thẳng $(d)$: \[ y = 2(-1) + 3 = -2 + 3 = 1 \] Vậy tọa độ giao điểm thứ hai là $(-1, 1)$. Kết luận: Các giao điểm của parabol $(P):~y=x^2$ và đường thẳng $(d):~y=2x+3$ là $(3, 9)$ và $(-1, 1)$. Bài 9: a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số $y=x^2$ và đường thẳng $(D):~y=2x+3$ trên cùng một hệ trục tọa độ. - Đồ thị của hàm số $y=x^2$ là một parabol mở rộng lên trên, có đỉnh tại gốc tọa độ (0,0). - Đường thẳng $(D):~y=2x+3$ có dạng một đường thẳng với hệ số góc là 2 và cắt trục tung tại điểm (0,3). b) Tìm tọa độ các giao điểm của (P) và (D) bằng phép tính: Để tìm tọa độ các giao điểm của (P) và (D), ta giải hệ phương trình: \[ \begin{cases} y = x^2 \\ y = 2x + 3 \end{cases} \] Thay $y = x^2$ vào phương trình $y = 2x + 3$, ta được: \[ x^2 = 2x + 3 \] Rearrange the equation to standard form: \[ x^2 - 2x - 3 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này bằng công thức nghiệm: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Ở đây, $a = 1$, $b = -2$, và $c = -3$. Thay vào công thức, ta có: \[ x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2} \] Từ đó, ta tìm được hai nghiệm: \[ x_1 = \frac{2 + 4}{2} = 3 \] \[ x_2 = \frac{2 - 4}{2} = -1 \] Tiếp theo, thay các giá trị của $x$ vào phương trình $y = x^2$ để tìm các giá trị tương ứng của $y$: - Khi $x = 3$, ta có $y = 3^2 = 9$. - Khi $x = -1$, ta có $y = (-1)^2 = 1$. Vậy, tọa độ các giao điểm của (P) và (D) là $(3, 9)$ và $(-1, 1)$. Bài 10: Để vẽ đồ thị của các hàm số $y = 2x^2$ và $y = x + 1$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định các điểm thuộc đồ thị của hàm số $y = 2x^2$ - Lấy các giá trị của $x$ và tính giá trị tương ứng của $y$: - Khi $x = 0$: $y = 2(0)^2 = 0$. Điểm $(0, 0)$. - Khi $x = 1$: $y = 2(1)^2 = 2$. Điểm $(1, 2)$. - Khi $x = -1$: $y = 2(-1)^2 = 2$. Điểm $(-1, 2)$. - Khi $x = 2$: $y = 2(2)^2 = 8$. Điểm $(2, 8)$. - Khi $x = -2$: $y = 2(-2)^2 = 8$. Điểm $(-2, 8)$. Bước 2: Xác định các điểm thuộc đồ thị của hàm số $y = x + 1$ - Lấy các giá trị của $x$ và tính giá trị tương ứng của $y$: - Khi $x = 0$: $y = 0 + 1 = 1$. Điểm $(0, 1)$. - Khi $x = 1$: $y = 1 + 1 = 2$. Điểm $(1, 2)$. - Khi $x = -1$: $y = -1 + 1 = 0$. Điểm $(-1, 0)$. - Khi $x = 2$: $y = 2 + 1 = 3$. Điểm $(2, 3)$. - Khi $x = -2$: $y = -2 + 1 = -1$. Điểm $(-2, -1)$. Bước 3: Vẽ đồ thị của các hàm số - Đồ thị của hàm số $y = 2x^2$ là một parabol mở rộng lên trên, đi qua các điểm $(0, 0)$, $(1, 2)$, $(-1, 2)$, $(2, 8)$, $(-2, 8)$. - Đồ thị của hàm số $y = x + 1$ là một đường thẳng đi qua các điểm $(0, 1)$, $(1, 2)$, $(-1, 0)$, $(2, 3)$, $(-2, -1)$. Bước 4: Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị - Để tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị, ta giải hệ phương trình: \[ \begin{cases} y = 2x^2 \\ y = x + 1 \end{cases} \] - Thay $y = x + 1$ vào $y = 2x^2$: \[ x + 1 = 2x^2 \] - Sắp xếp lại phương trình: \[ 2x^2 - x - 1 = 0 \] - Giải phương trình bậc hai này bằng công thức: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Với $a = 2$, $b = -1$, $c = -1$: \[ x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4} = \frac{1 \pm 3}{4} \] Ta có hai nghiệm: \[ x_1 = 1 \quad \text{và} \quad x_2 = -\frac{1}{2} \] - Tìm giá trị của $y$ tương ứng: - Khi $x = 1$: $y = 1 + 1 = 2$. Điểm $(1, 2)$. - Khi $x = -\frac{1}{2}$: $y = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}$. Điểm $\left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$. Kết luận Tọa độ giao điểm của hai đồ thị là $(1, 2)$ và $\left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$. Bài 11: a) Để vẽ parabol $(P):~y=x^2$ và đường thẳng $(d):~y=-x+2$, ta thực hiện các bước sau: - Với parabol $(P)$, ta chọn các giá trị của $x$ và tính $y$ tương ứng để tìm các điểm trên parabol. - Với đường thẳng $(d)$, ta cũng chọn các giá trị của $x$ và tính $y$ tương ứng để tìm các điểm trên đường thẳng. b) Để tìm tọa độ giao điểm của $(P)$ và $(d)$, ta giải hệ phương trình: \[ \begin{cases} y = x^2 \\ y = -x + 2 \end{cases} \] Thay $y = x^2$ vào $y = -x + 2$, ta được: \[ x^2 = -x + 2 \] Rearrange the equation: \[ x^2 + x - 2 = 0 \] Factorize the quadratic equation: \[ (x + 2)(x - 1) = 0 \] Solving for $x$, ta có: \[ x = -2 \quad \text{hoặc} \quad x = 1 \] Substitute these values back into $y = x^2$ to find the corresponding $y$ values: - When $x = -2$, $y = (-2)^2 = 4$ - When $x = 1$, $y = 1^2 = 1$ Thus, the intersection points are $(-2, 4)$ and $(1, 1)$. c) To write the equation of the line $(d')$ that is parallel to $(d)$ and intersects $(P)$ at point $A$ with abscissa $2$, we follow these steps: - Since $(d')$ is parallel to $(d)$, it has the same slope as $(d)$. The slope of $(d)$ is $-1$. - Therefore, the equation of $(d')$ can be written as $y = -x + c$. - Given that $(d')$ intersects $(P)$ at point $A$ with abscissa $2$, we substitute $x = 2$ into $y = x^2$ to find the ordinate of $A$: \[ y = 2^2 = 4 \] - Thus, point $A$ is $(2, 4)$. - Substitute $(2, 4)$ into the equation $y = -x + c$ to solve for $c$: \[ 4 = -2 + c \implies c = 6 \] Therefore, the equation of $(d')$ is: \[ y = -x + 6 \] Bài 12: a) Để (d) và (P) tiếp xúc nhau thì phương trình hoành độ giao điểm của chúng có duy nhất một nghiệm. Thay $y=(m+3)x-3m-4$ vào $y=x^2$, ta được: $x^2-(m+3)x+3m+4=0$ Phương trình này có duy nhất một nghiệm khi $\Delta =0$. Ta có: $\Delta =(m+3)^2-4\times (3m+4)=m^2-6m+5=(m-1)\times (m-5)$ $\Delta =0$ khi $m=1$ hoặc $m=5$ - Với $m=1$, thay vào phương trình hoành độ giao điểm, ta được $x^2-4x+7=0$. Phương trình này có nghiệm kép $x=2$. Thay vào $(P)$, ta được $y=4$. Vậy tọa độ tiếp điểm là $(2;4)$. - Với $m=5$, thay vào phương trình hoành độ giao điểm, ta được $x^2-8x+19=0$. Phương trình này có nghiệm kép $x=4$. Thay vào $(P)$, ta được $y=16$. Vậy tọa độ tiếp điểm là $(4;16)$. b) Để (d) và (P) tiếp xúc nhau thì phương trình hoành độ giao điểm của chúng có duy nhất một nghiệm. Thay $y=mx-m$ vào $y=(m+3)x^2$, ta được: $(m+3)x^2-mx+m=0$ Phương trình này có duy nhất một nghiệm khi $\Delta =0$. Ta có: $\Delta =m^2-4\times (m+3)\times m=-3m^2$ $\Delta =0$ khi $m=0$ Với $m=0$, thay vào phương trình hoành độ giao điểm, ta được $3x^2=0$. Phương trình này có nghiệm kép $x=0$. Thay vào $(P)$, ta được $y=0$. Vậy tọa độ tiếp điểm là $(0;0)$. c) Để (d) và (P) tiếp xúc nhau thì phương trình hoành độ giao điểm của chúng có duy nhất một nghiệm. Thay $y=2(m+2)x-9$ vào $y=mx^2$, ta được: $mx^2-2(m+2)x+9=0$ Phương trình này có duy nhất một nghiệm khi $\Delta =0$. Ta có: $\Delta =4(m+2)^2-4\times m\times 9=4\times (-5m+4)$ $\Delta =0$ khi $m=\frac{4}{5}$ Với $m=\frac{4}{5}$, thay vào phương trình hoành độ giao điểm, ta được $\frac{4}{5}x^2-\frac{28}{5}x+9=0$. Phương trình này có nghiệm kép $x=\frac{5}{2}$. Thay vào $(P)$, ta được $y=5$. Vậy tọa độ tiếp điểm là $(\frac{5}{2};5)$. Bài 13: a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số $y=x^2$ và đường thẳng $(D):~y=2x+3$ trên cùng một hệ trục tọa độ. - Đồ thị của hàm số $y=x^2$ là một parabol mở rộng lên trên, có đỉnh tại gốc tọa độ (0,0). - Đường thẳng $(D):~y=2x+3$ có dạng một đường thẳng với hệ số góc là 2 và cắt trục tung tại điểm (0,3). b) Tìm tọa độ các giao điểm của (P) và (D) bằng phép tính: Để tìm tọa độ các giao điểm của (P) và (D), ta giải hệ phương trình: \[ \begin{cases} y = x^2 \\ y = 2x + 3 \end{cases} \] Thay $y = x^2$ vào phương trình $y = 2x + 3$, ta được: \[ x^2 = 2x + 3 \] Rearrange the equation to standard form: \[ x^2 - 2x - 3 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này bằng công thức nghiệm: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Ở đây, $a = 1$, $b = -2$, và $c = -3$. Thay vào công thức, ta có: \[ x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2} \] Từ đó, ta tìm được hai nghiệm: \[ x_1 = \frac{2 + 4}{2} = 3 \] \[ x_2 = \frac{2 - 4}{2} = -1 \] Tiếp theo, thay các giá trị của $x$ vào phương trình $y = x^2$ để tìm các giá trị tương ứng của $y$: - Khi $x = 3$, ta có $y = 3^2 = 9$. - Khi $x = -1$, ta có $y = (-1)^2 = 1$. Vậy, tọa độ các giao điểm của (P) và (D) là $(3, 9)$ và $(-1, 1)$. Bài 14: Để vẽ đồ thị của các hàm số $y = 2x^2$ và $y = x + 1$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định các điểm thuộc đồ thị của hàm số $y = 2x^2$ - Lấy các giá trị của $x$ và tính giá trị tương ứng của $y$: - Khi $x = 0$: $y = 2(0)^2 = 0$. Điểm $(0, 0)$. - Khi $x = 1$: $y = 2(1)^2 = 2$. Điểm $(1, 2)$. - Khi $x = -1$: $y = 2(-1)^2 = 2$. Điểm $(-1, 2)$. - Khi $x = 2$: $y = 2(2)^2 = 8$. Điểm $(2, 8)$. - Khi $x = -2$: $y = 2(-2)^2 = 8$. Điểm $(-2, 8)$. Bước 2: Xác định các điểm thuộc đồ thị của hàm số $y = x + 1$ - Lấy các giá trị của $x$ và tính giá trị tương ứng của $y$: - Khi $x = 0$: $y = 0 + 1 = 1$. Điểm $(0, 1)$. - Khi $x = 1$: $y = 1 + 1 = 2$. Điểm $(1, 2)$. - Khi $x = -1$: $y = -1 + 1 = 0$. Điểm $(-1, 0)$. - Khi $x = 2$: $y = 2 + 1 = 3$. Điểm $(2, 3)$. - Khi $x = -2$: $y = -2 + 1 = -1$. Điểm $(-2, -1)$. Bước 3: Vẽ đồ thị của các hàm số - Đồ thị của hàm số $y = 2x^2$ là một parabol mở rộng lên trên, đi qua các điểm $(0, 0)$, $(1, 2)$, $(-1, 2)$, $(2, 8)$, $(-2, 8)$. - Đồ thị của hàm số $y = x + 1$ là một đường thẳng đi qua các điểm $(0, 1)$, $(1, 2)$, $(-1, 0)$, $(2, 3)$, $(-2, -1)$. Bước 4: Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị - Để tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị, ta giải hệ phương trình: \[ \begin{cases} y = 2x^2 \\ y = x + 1 \end{cases} \] - Thay $y = x + 1$ vào $y = 2x^2$: \[ x + 1 = 2x^2 \] - Sắp xếp lại phương trình: \[ 2x^2 - x - 1 = 0 \] - Giải phương trình bậc hai này bằng công thức: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Với $a = 2$, $b = -1$, $c = -1$: \[ x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4} = \frac{1 \pm 3}{4} \] Ta có hai nghiệm: \[ x_1 = 1 \quad \text{và} \quad x_2 = -\frac{1}{2} \] - Tìm giá trị của $y$ tương ứng: - Khi $x = 1$: $y = 1 + 1 = 2$. Điểm $(1, 2)$. - Khi $x = -\frac{1}{2}$: $y = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}$. Điểm $\left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$. Kết luận Tọa độ giao điểm của hai đồ thị là $(1, 2)$ và $\left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$. Bài 15: a) Để vẽ parabol $(P):~y=x^2$ và đường thẳng $(d):~y=-x+2$, ta thực hiện các bước sau: - Với parabol $(P):~y=x^2$, ta chọn các giá trị của x và tính y: - Khi x = 0, y = 0^2 = 0 - Khi x = 1, y = 1^2 = 1 - Khi x = -1, y = (-1)^2 = 1 - Khi x = 2, y = 2^2 = 4 - Khi x = -2, y = (-2)^2 = 4 - Với đường thẳng $(d):~y=-x+2$, ta chọn các giá trị của x và tính y: - Khi x = 0, y = -0 + 2 = 2 - Khi x = 1, y = -1 + 2 = 1 - Khi x = -1, y = -(-1) + 2 = 3 - Khi x = 2, y = -2 + 2 = 0 - Khi x = -2, y = -(-2) + 2 = 4 b) Để tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d), ta giải hệ phương trình: \[ \begin{cases} y = x^2 \\ y = -x + 2 \end{cases} \] Thay y từ phương trình thứ hai vào phương trình thứ nhất: \[ x^2 = -x + 2 \] \[ x^2 + x - 2 = 0 \] Phương trình này có dạng ax^2 + bx + c = 0, ta giải bằng công thức nghiệm: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] \[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} \] \[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2} \] \[ x = \frac{-1 \pm 3}{2} \] Ta có hai nghiệm: \[ x_1 = \frac{-1 + 3}{2} = 1 \] \[ x_2 = \frac{-1 - 3}{2} = -2 \] Thay lại vào phương trình y = -x + 2 để tìm y: - Khi x = 1, y = -1 + 2 = 1 - Khi x = -2, y = -(-2) + 2 = 4 Vậy tọa độ giao điểm là (1, 1) và (-2, 4). c) Đường thẳng $(d_1):~y=ax+b$ song song với $(d):~y=-x+2$, nên chúng có cùng hệ số góc a. Do đó, a = -1. Để viết phương trình của $(d_1)$, ta biết nó cắt (P) tại điểm A có hoành độ là 2. Thay x = 2 vào phương trình của (P): \[ y = 2^2 = 4 \] Vậy điểm A có tọa độ (2, 4). Thay vào phương trình của $(d_1)$: \[ 4 = -1 \cdot 2 + b \] \[ 4 = -2 + b \] \[ b = 6 \] Vậy phương trình của $(d_1)$ là: \[ y = -x + 6 \]