Cho đường tròn (O) đường kính AB. Qua A, B lần lượt vẽ các tiếp tuyến d1 và d2 đến (O). Từ M bất kì trên (O) vẽ tiếp tuyến với đường tròn cắt d1 tại C, d2 tại D. Đg tròn đường kính CD cắt (O) tại E, F...

a,Vì $\displaystyle AC\perp AB,BD\perp AB\Rightarrow AC\parallel BD\Rightarrow ACDB\ là\ hình\ thang$
Vì CM,CA là tiếp tuyến của $\displaystyle ( O)$ nên CM=CA
Tương tự DM=DB
Gọi J là trung điểm của CD thì JO là đường trung bình của hình thang ACDB
$\displaystyle \Rightarrow JO\parallel BD\ và\ OJ=\frac{AC+BD}{2} =\frac{CM+MD}{2} =IC=ID\ \ ( 1)$
Vì $\displaystyle BD\perp AB\ nên\ JO\perp AB\ tại\ O\ ( 2)$
Từ $\displaystyle ( 1) \ và\ ( 2) \ \Rightarrow AB$ là tiếp tuyến đường tròn tâm J đường kính CD
b,Vì $\displaystyle CA\parallel BD\ nên\ theo\ định\ lí\ Talét\ ta\ có\ \frac{CI}{IB} =\frac{CA}{CD} =\frac{CM}{MD}$\displaystyle \Rightarrow IM\parallel BD$
Mà $\displaystyle BD\perp AB$ nên $\displaystyle MI\perp AB$
Gọi P,Q lần lượt là giao của AD và $\displaystyle ( O)$,BC và $\displaystyle ( J)$
Có $\displaystyle \widehat{APB} =\widehat{CQD} =90^{o}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
$\displaystyle \Rightarrow \widehat{DPB} =\widehat{BQD} =90^{o}$
$\displaystyle \Rightarrow BQPD$ là tứ giác nội tiếp $\displaystyle \Rightarrow \widehat{PDB} =\widehat{PQI}$
Vì $\displaystyle AC\parallel BD\ nên\ \widehat{PDB} =\widehat{IAC}$
$\displaystyle  \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\Rightarrow \widehat{PQI} =\widehat{IAC} \Rightarrow \Delta PQI\backsim \Delta CAI\ ( g-g)\\
\Rightarrow \frac{PI}{CI} =\frac{QI}{AI} \Rightarrow IP.IA=IC.IQ
\end{array}$
$\displaystyle \Rightarrow $Tích phương của điểm I đối với 2 đường tròn $\displaystyle ( O) \ và\ ( J)$ là bằng nhau
$\displaystyle \Rightarrow I\ $nằm trên trục đẳng phương EF của 2 đường tròn
Vậy I,E,F thẳng hàng