Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt ba cạnh AB, AC, BC tại D, E, F. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng: a) GA.GB = GD.GE b) GC.GB = GF.GE

thumb up 0
thumb down
Trả lời câu hỏi của _emma_ 🌷

Làm sao để có câu trả lời hay nhất?

  • Luôn có GIẢI THÍCH các bước giải
  • Không copy câu trả lời của Timi
  • Không sao chép trên mạng
  • Không spam câu trả lời để nhận điểm
  • Spam sẽ bị khóa tài khoản
CÂU TRẢ LỜI
avatar
Timi

04/09/2023

Trợ lý học tập AI - Câu trả lời này chỉ mang tính tham khảo
a) Ta có trọng tâm G chia đoạn thẳng AB theo tỉ lệ AG:GB = 2:1. Gọi M là trung điểm của cạnh BC, ta có GM = 1/2 BC. Vì tam giác ABC có ba góc nhọn nên G nằm trong tam giác ABC. Do đó, ta có AG < AM và GB < GM. Từ đó suy ra AG.GB < AM.GM. Ta biết rằng GD là đường phân giác của góc BGC, nên GD chia đoạn thẳng BC thành hai phần bằng nhau. Tương tự, ta có GE chia đoạn thẳng BC thành hai phần bằng nhau. Do đó, ta có GD = GE. Kết hợp với AG.GB < AM.GM, ta có GA.GB < GD.GE. Tương tự, ta có GB.GA < GE.GD. Từ đó suy ra GA.GB = GD.GE. b) Ta có trọng tâm G chia đoạn thẳng AC theo tỉ lệ AG:GC = 2:1. Gọi N là trung điểm của cạnh AB, ta có GN = 1/2 AB. Vì tam giác ABC có ba góc nhọn nên G nằm trong tam giác ABC. Do đó, ta có AG < AN và GC < GN. Từ đó suy ra AG.GC < AN.GN. Ta biết rằng GF là đường phân giác của góc BAF, nên GF chia đoạn thẳng AB thành hai phần bằng nhau. Tương tự, ta có GE chia đoạn thẳng AC thành hai phần bằng nhau. Do đó, ta có GF = GE. Kết hợp với AG.GC < AN.GN, ta có GC.GB < GF.GE. Tương tự, ta có GB.GC < GE.GF. Từ đó suy ra GC.GB = GF.GE. Vậy, ta đã chứng minh được a) GA.GB = GD.GE và b) GC.GB = GF.GE.
Hãy giúp mọi người biết câu trả lời này thế nào?
1.0/5 (1 đánh giá)
thumb up 0
thumb down
0 bình luận
Bình luận
avatar
level icon
LoanLoan

04/09/2023

chờ chút nhé
Hãy giúp mọi người biết câu trả lời này thế nào?
0/5 (0 đánh giá)
thumb up 0
thumb down
0 bình luận
Bình luận

a) Ta có:

  • G là trọng tâm của tam giác ABC, nên AG = 2/3 * GD và BG = 2/3 * GE.
  • Từ đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, ta có: AD.BD = ED.CD.
  • Nhân cả hai vế của phương trình trên với AG và BG, ta được: AG.AD.BD = BG.ED.CD.
  • Thay thế AG = 2/3 * GD và BG = 2/3 * GE, ta có: (2/3 * GD).AD.BD = (2/3 * GE).ED.CD.
  • Từ đó suy ra: GD.AD.BD = GE.ED.CD.
  • Vì GD = 3/2 * GA và BD = 2 * BA, nên ta có: (3/2 * GA).AD.(2 * BA) = GE.ED.CD.
  • Điều này tương đương với: GA.AD.BA = GE.ED.CD.
  • Từ đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, ta có: CD = CE và AD = AF.
  • Thay thế CD = CE và AD = AF vào phương trình trên, ta được: GA.AF.BA = GE.EF.CE.
  • Vì AF = 2/3 * GF và BA = 2/3 * BC, nên ta có: (2/3 * GA).GF.(2/3 * BC) = GE.EF.CE.
  • Điều này tương đương với: GA.GF.BC = GE.EF.CE.
  • Vì BC = 3/2 * GC và CE = 2 * BE, nên ta có: GA.GF.(3/2 * GC) = GE.EF.(2 * BE).
  • Thay thế BC = 3/2 * GC và CE = 2 * BE vào phương trình trên, ta được: GA.GF.GC = GE.EF.BE.
  • Vì GC = 3/2 * GB và BE = 2/3 * EB, nên ta có: GA.GF.(3/2 * GB) = GE.EF.(2/3 * EB).
  • Điều này tương đương với: GA.GF.GB = GE.EF.EB.
  • Từ đó suy ra: GA.GB = GD.GE. (Đpcm)

b) Ta có:

  • G là trọng tâm của tam giác ABC, nên AG = 2/3 * GD và CG = 2/3 * GF.
  • Từ đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, ta có: BD.CD = FD.AD.
  • Nhân cả hai vế của phương trình trên với BG và CG, ta được: BG.BD.CD = CG.FD.AD.
  • Thay thế BG = 2/3 * GE và CG = 2/3 * GF, ta có: (2/3 * GE).BD.CD = (2/3 * GF).FD.AD.
  • Từ đó suy ra: GE.BD.CD = GF.FD.AD.
  • Vì BD = 2/3 * BA và CD = 2/3 * CA, nên ta có: GE.(2/3 * BA).(2/3 * CA) = GF.FD.AD.
  • Điều này tương đương với: GE.BA.CA = GF.FD.AD.
  • Từ đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, ta có: BA = BE và CA = CF.
  • Thay thế BA = BE và CA = CF vào phương trình trên, ta được: GE.BE.CF = GF.FD.AD.
  • Vì BE = 2/3 * EB và CF = 2/3 * FC, nên ta có: GE.(2/3 * EB).(2/3 * FC) = GF.FD.AD.
  • Điều này tương đương với: GE.EB.FC = GF.FD.AD.
  • Vì EB = 3/2 * EC và FC = 3/2 * FD, nên ta có: GE.EC.FD = GF.FD.AD.
  • Từ đó suy ra: GC.GB = GF.FE.


Hãy giúp mọi người biết câu trả lời này thế nào?
0/5 (0 đánh giá)
thumb up 0
thumb down
0 bình luận
Bình luận

Nếu bạn muốn hỏi bài tập

Các câu hỏi của bạn luôn được giải đáp dưới 10 phút

Ảnh ads

CÂU HỎI LIÊN QUAN

FQA.vn Nền tảng kết nối cộng đồng hỗ trợ giải bài tập học sinh trong khối K12. Sản phẩm được phát triển bởi CÔNG TY TNHH CÔNG NGHỆ GIA ĐÌNH (FTECH CO., LTD)
Điện thoại: 1900636019 Email: info@fqa.vn
Location Địa chỉ: Số 21 Ngõ Giếng, Phố Đông Các, Phường Ô Chợ Dừa, Quận Đống Đa, Thành phố Hà Nội, Việt Nam.
Tải ứng dụng FQA
Người chịu trách nhiệm quản lý nội dung: Nguyễn Tuấn Quang Giấy phép thiết lập MXH số 07/GP-BTTTT do Bộ Thông tin và Truyền thông cấp ngày 05/01/2024
Copyright © 2023 fqa.vn All Rights Reserved