Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt ba cạnh AB, AC, BC tại D, E, F. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng: a) GA.GB = GD.GE b) GC.GB = GF.GE

a) Ta có:

• G là trọng tâm của tam giác ABC, nên AG = 2/3 * GD và BG = 2/3 * GE.
• Từ đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, ta có: AD.BD = ED.CD.
• Nhân cả hai vế của phương trình trên với AG và BG, ta được: AG.AD.BD = BG.ED.CD.
• Thay thế AG = 2/3 * GD và BG = 2/3 * GE, ta có: (2/3 * GD).AD.BD = (2/3 * GE).ED.CD.
• Từ đó suy ra: GD.AD.BD = GE.ED.CD.
• Vì GD = 3/2 * GA và BD = 2 * BA, nên ta có: (3/2 * GA).AD.(2 * BA) = GE.ED.CD.
• Điều này tương đương với: GA.AD.BA = GE.ED.CD.
• Từ đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, ta có: CD = CE và AD = AF.
• Thay thế CD = CE và AD = AF vào phương trình trên, ta được: GA.AF.BA = GE.EF.CE.
• Vì AF = 2/3 * GF và BA = 2/3 * BC, nên ta có: (2/3 * GA).GF.(2/3 * BC) = GE.EF.CE.
• Điều này tương đương với: GA.GF.BC = GE.EF.CE.
• Vì BC = 3/2 * GC và CE = 2 * BE, nên ta có: GA.GF.(3/2 * GC) = GE.EF.(2 * BE).
• Thay thế BC = 3/2 * GC và CE = 2 * BE vào phương trình trên, ta được: GA.GF.GC = GE.EF.BE.
• Vì GC = 3/2 * GB và BE = 2/3 * EB, nên ta có: GA.GF.(3/2 * GB) = GE.EF.(2/3 * EB).
• Điều này tương đương với: GA.GF.GB = GE.EF.EB.
• Từ đó suy ra: GA.GB = GD.GE. (Đpcm)

b) Ta có:

• G là trọng tâm của tam giác ABC, nên AG = 2/3 * GD và CG = 2/3 * GF.
• Từ đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, ta có: BD.CD = FD.AD.
• Nhân cả hai vế của phương trình trên với BG và CG, ta được: BG.BD.CD = CG.FD.AD.
• Thay thế BG = 2/3 * GE và CG = 2/3 * GF, ta có: (2/3 * GE).BD.CD = (2/3 * GF).FD.AD.
• Từ đó suy ra: GE.BD.CD = GF.FD.AD.
• Vì BD = 2/3 * BA và CD = 2/3 * CA, nên ta có: GE.(2/3 * BA).(2/3 * CA) = GF.FD.AD.
• Điều này tương đương với: GE.BA.CA = GF.FD.AD.
• Từ đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, ta có: BA = BE và CA = CF.
• Thay thế BA = BE và CA = CF vào phương trình trên, ta được: GE.BE.CF = GF.FD.AD.
• Vì BE = 2/3 * EB và CF = 2/3 * FC, nên ta có: GE.(2/3 * EB).(2/3 * FC) = GF.FD.AD.
• Điều này tương đương với: GE.EB.FC = GF.FD.AD.
• Vì EB = 3/2 * EC và FC = 3/2 * FD, nên ta có: GE.EC.FD = GF.FD.AD.
• Từ đó suy ra: GC.GB = GF.FE.