Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt ba cạnh AB, AC, BC tại D, E, F. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng:
a) GA.GB = GD.GE
b) GC.GB = GF.GE
Trợ lý học tập AI - Câu trả lời này chỉ mang tính tham khảo
a) Ta có trọng tâm G chia đoạn thẳng AB theo tỉ lệ AG:GB = 2:1.
Gọi M là trung điểm của cạnh BC, ta có GM = 1/2 BC.
Vì tam giác ABC có ba góc nhọn nên G nằm trong tam giác ABC.
Do đó, ta có AG < AM và GB < GM.
Từ đó suy ra AG.GB < AM.GM.
Ta biết rằng GD là đường phân giác của góc BGC, nên GD chia đoạn thẳng BC thành hai phần bằng nhau.
Tương tự, ta có GE chia đoạn thẳng BC thành hai phần bằng nhau.
Do đó, ta có GD = GE.
Kết hợp với AG.GB < AM.GM, ta có GA.GB < GD.GE.
Tương tự, ta có GB.GA < GE.GD.
Từ đó suy ra GA.GB = GD.GE.
b) Ta có trọng tâm G chia đoạn thẳng AC theo tỉ lệ AG:GC = 2:1.
Gọi N là trung điểm của cạnh AB, ta có GN = 1/2 AB.
Vì tam giác ABC có ba góc nhọn nên G nằm trong tam giác ABC.
Do đó, ta có AG < AN và GC < GN.
Từ đó suy ra AG.GC < AN.GN.
Ta biết rằng GF là đường phân giác của góc BAF, nên GF chia đoạn thẳng AB thành hai phần bằng nhau.
Tương tự, ta có GE chia đoạn thẳng AC thành hai phần bằng nhau.
Do đó, ta có GF = GE.
Kết hợp với AG.GC < AN.GN, ta có GC.GB < GF.GE.
Tương tự, ta có GB.GC < GE.GF.
Từ đó suy ra GC.GB = GF.GE.
Vậy, ta đã chứng minh được a) GA.GB = GD.GE và b) GC.GB = GF.GE.
FQA.vn Nền tảng kết nối cộng đồng hỗ trợ giải bài tập học sinh trong khối K12. Sản phẩm được phát triển bởi CÔNG TY TNHH CÔNG NGHỆ GIA ĐÌNH (FTECH CO., LTD)
Điện thoại: 1900636019
Email: info@fqa.vn
Địa chỉ: Số 21 Ngõ Giếng, Phố Đông Các, Phường Ô Chợ Dừa, Quận Đống Đa, Thành phố Hà Nội, Việt Nam.