Cho tam giác ABC vuông taị A có diện tích bằng 1. Dựng ra phía ngoài tma giác các tam giác vuông cân BCF, CAE, ABD lần lượt nhận BC, CA, AB là cạnh huyền. CMR tam giác DEF có diện tích không nhở hơn 2....

Để chứng minh diện tích tam giác DEF không nhỏ hơn 2, ta sẽ sử dụng các định lí và tính chất của tam giác và diện tích.

Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh của tam giác ABC (a là cạnh huyền).

Theo định lí Pythagoras, ta có:

a^2 = b^2 + c^2

Vì tam giác ABC vuông tại A, nên ta có:

SABC = (1/2) * b * c = 1 (diện tích tam giác ABC)

Ta cần chứng minh diện tích tam giác DEF không nhỏ hơn 2, tức là SDEF ≥ 2.

Gọi d, e, f lần lượt là độ dài các cạnh của tam giác DEF.

Theo tính chất diện tích tam giác, ta có:

SDEF = (1/2) * d * e * sin(FED)

Ta cần chứng minh (1/2) * d * e * sin(FED) ≥ 2.

Để chứng minh điều này, ta sẽ sử dụng một số tính chất và bất đẳng thức.

Từ các tam giác vuông cân BCF, CAE, ABD, ta có:

BC = BF = CF

CA = AE = CE

AB = AD = BD

Do đó, ta có:

b = BC + AB = BF + BD

c = CA + BC = CE + CF

a = AB + CA = AD + AE

Từ đó, ta có:

b + c = (BF + BD) + (CE + CF) = 2BC + 2EF

a = AD + AE = 2AD

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:

(2BC + 2EF)(2AD) ≥ 4√(BC * EF * AD * EF) = 4√(SABC * SDEF) = 4√(1 * SDEF) = 4√SDEF

Từ đó, ta có:

b + c ≥ 4√SDEF

Do đó, ta có:

(1/2) * (b + c) ≥ 2√SDEF

Từ đó, ta suy ra:

(1/2) * d * e * sin(FED) = (1/2) * (b + c) ≥ 2√SDEF

Vậy, ta đã chứng minh được diện tích tam giác DEF không nhỏ hơn 2.