giúp tôi với đi mà đang cần gấp Bài 4: Cho hình thang ABCD, $\widehat A=\widehat D=90^0.$ Hai đường chéo vuông góc với nhau tại O. Biết,$OB=5,4cm;OD=15cm.$,a) Tính diện tích hình thang;,b) Qua O vẽ một đường thẳng song song với hai đáy, cắt AD và BC lần lượt tại M và N.,Tính độ dài MN.

Question

giúp tôi với đi mà đang cần gấp Bài 4:  Cho hình thang ABCD, $\widehat A=\widehat D=90^0.$ Hai đường chéo vuông góc với nhau tại O. Biết,$OB=5,4cm;OD=15cm.$,a) Tính diện tích hình thang;,b) Qua O vẽ một đường thẳng song song với hai đáy, cắt AD và BC lần lượt tại M và N.,Tính độ dài MN.

Accepted Answer

OB=5,4cm
OD=15cm
$\displaystyle \Rightarrow $BD=OB+OD=5,4+15=20,4 (cm)
a, Xét $\displaystyle \vartriangle $ABD vuông tại A có AO là đường cao
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
AD^{2} =OD.BD\
AB^{2} =OB.BD\
AO^{2} =OB.OD
\end{array}$ (hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông )
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\Rightarrow AD=\sqrt{OD.BD} =\sqrt{15.20,4} =3\sqrt{34} \ ( cm)\
AB=\sqrt{OB.BD} =\sqrt{5,4\ .\ 20,4} =\frac{9\sqrt{34}}{5} \ ( cm) \ \
AO=\sqrt{OB.OD} =\sqrt{5,4\ .\ 15} =9\ ( cm)
\end{array}$
Xét $\displaystyle \vartriangle $ADC vuông tại D có DO là đường cao
$\displaystyle \Rightarrow AD^{2} =AO.AC$(hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông )
$\displaystyle \Rightarrow AC=\frac{AD^{2}}{AO} =\frac{\left( 3\sqrt{34} ight)^{2}}{9} =34 \ ( cm)$
Lại có: $\displaystyle AC^{2} =AD^{2} +DC^{2}$ (định lý Pytago)
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\Rightarrow DC=\sqrt{AC^{2} -AD^{2}} =\sqrt{34^{2} -\left( 3\sqrt{34} ight)^{2}} =5\sqrt{34} \ ( cm)\
S_{ABCD} =\frac{1}{2} AD.( AB+DC) =\frac{1}{2} .3\sqrt{34} .\left(\frac{9\sqrt{34}}{5} +5\sqrt{34} \ ight) =346,8\ \left( cm^{2} ight)
\end{array}$

b, Vì OM//CD ( bài cho)
$\displaystyle \Rightarrow \frac{OM}{CD} =\frac{AO}{AC} \Rightarrow OM=\frac{AO}{AC} .CD=\frac{9}{34} .5\sqrt{34} \ =\frac{45\sqrt{34}}{34}( cm)$
Theo bài cho ON//CD
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\Rightarrow \frac{ON}{CD} =\frac{OB}{BD} \Rightarrow ON=\frac{OB}{BD} .CD=\frac{5,4}{20,4} .5\sqrt{34} =\frac{45\sqrt{34}}{34} \ ( cm)\
\Rightarrow MN=OM+ON=\frac{45\sqrt{34}}{34} +\frac{45\sqrt{34}}{34} =\frac{45\sqrt{34}}{17}( cm)
\end{array}$