tìm giá trị lớn nhất của biểu thức F ( x;y) =2x+3y, với đk {3x+y≤ 6 {x+y≤ 4 { x≥ 0 {y≥ 0

Xét tập nghiệm của BPT (1): $\displaystyle 3x+y\leqslant 6$
Đường thẳng $\displaystyle ( d_{1}) :3x+y=6$. 
Xét $\displaystyle x=0$. Thay vào phương trình $\displaystyle d_{1}$ ta có: $\displaystyle y=6$. Đường thẳng $\displaystyle d_{1}$ đi qua điểm $\displaystyle A( 0;6)$
Xét $\displaystyle y=0$. Thay vào phương trình $\displaystyle d_{1}$ ta có: $\displaystyle x=2$. Đường thẳng $\displaystyle d_{1}$ đi qua điểm $\displaystyle B( 2;0)$
Đường thẳng $\displaystyle d_{1}$ là đường thẳng đi qua 2 điểm $\displaystyle A( 0;6)$ và $\displaystyle B( 2;0)$
Ta thấy $\displaystyle O( 0;0)$ thuộc miền nghiệm của bất phương trình (1) vì $\displaystyle 3.0+0\leqslant 6$
Vậy miền nghiệm của bất phương trình (1) là nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng $\displaystyle ( d_{1})$ bao gồm của đường thẳng $\displaystyle d_{1}$ và chứa điểm O
Xét tập nghiệm của BPT (2): $\displaystyle x+y\leqslant 4$
Đường thẳng $\displaystyle ( d_{2}) :x+y=4$. 
Xét $\displaystyle x=0$. Thay vào phương trình $\displaystyle d_{2}$ ta có: $\displaystyle y=4$. Đường thẳng $\displaystyle d_{1}$ đi qua điểm $\displaystyle C( 0;4)$
Xét $\displaystyle y=0$. Thay vào phương trình $\displaystyle d_{2}$ ta có: $\displaystyle x=4$. Đường thẳng $\displaystyle d_{1}$ đi qua điểm $\displaystyle D( 4;0)$
Đường thẳng $\displaystyle d_{1}$ là đường thẳng đi qua 2 điểm $\displaystyle C( 0;4)$ và $\displaystyle D( 4;0)$
Ta thấy $\displaystyle O( 0;0)$ thuộc miền nghiệm của bất phương trình (1) vì $\displaystyle 0+0\leqslant 4$
Vậy miền nghiệm của bất phương trình (2) là nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng $\displaystyle ( d_{2})$ bao gồm của đường thẳng $\displaystyle d_{2}$ và chứa điểm O
 

Phương tình hoành độ giao điểm của 2 đường thẳng $\displaystyle y=6-3x$ và $\displaystyle y=4-x$ là:
$\displaystyle 6-3x=4-x\Rightarrow 2x=2\Rightarrow x=1$
Khi đó có: $\displaystyle y=4-1=3$
Vậy miền nghiệm của hệ bất phương trình là: điểm $\displaystyle E( 1;3) ,\ B( 2;0)$ và $\displaystyle D( 4;0)$
Ta có: 
$\displaystyle  \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
F( 1;3) =2.1+3.3=11\\
F( 2;0) =2.2+3.0=4\\
F( 4;0) =2.4+3.0=8
\end{array}$
Vậy $\displaystyle F_{max} =11$